Szereg geometryczny



Szereg geometryczny.

Definicja. Jeżeli jest ciągiem geometrycznym, to ciąg określony wzorem:
nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu .
Definicja: Jeżeli szereg jest zbieżny do skończonej granicy, to tą granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy przez Zatem

Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy i ma wówczas sumę:
W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny.
Przykład: Zamień ułamek okresowy 1, 3(2) na ułamek zwykły.
Ułamek okresowy 1, 3(2) możemy zapisać:
1, 3+0, 02+0, 02
Jeżeli pominiemy pierwszy składnik to zauważamy, że mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym, gdzie Zatem spełniony jest warunek zbieżności.
Możemy obliczyć sumę .
. Zatem
Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego:

Ponieważ lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego to musimy znaleźć oraz wyznaczyć takie liczby rzeczywiste aby spełniony był warunek zbieżności szeregu.
Zatem

więc dla
Dla równanie przyjmuje postać:
Ponieważ zarówno to równanie posiada dwa rozwiązania:


Zobacz też:
Pojęcie ciągu
Ciąg geometryczny
Granica ciągu nieskończonego