îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ALzG 16 Wartości własne
2 1 0 2 -1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) ïÅ‚ śł, b) ïÅ‚ śł,
1 3 -1 1 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
n
16.1 Niech A " Mn (C) taka, że Ar = In. Pokazać,
-1 2 3 -2 1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
że jeÅ›li  jest wartoÅ›ciÄ… wÅ‚asnÄ… A to r = 1. îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0 0
2 -2 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
c) ïÅ‚ śł, d) .
16.2 Znając wartości własne i wektory własne ma- 3 -4 -3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
n
cierzy A " Mn (K), znalez
ć wartości własne i wek- 2 -4 0
1 0 0 2
tory własne macierzy a) A2, b) A3, c) A2 + 2A + I,
16.9 Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające
d) f(A), f " K[x].
im podprzestrzenie niezmiennicze przekształcenia
n
16.3 Udowodnić, że macierz A " Mn (K) jest od- liniowego F : a) F " Hom(R3, R3),
wracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie war- F (x1, x2, x3) = (2x1, x2 + x3, x2 - x3) ,
b) F " Hom(R3, R3),
tości własne macierzy A są niezerowe.
F (x1, x2, x3) = (2x1 - 2x2, -2x1 + x2 - 2x3, - 2x2),
n
16.4 Udowodnić, że jeśli A, B " Mn (K) to macierze
d
c) F " Hom(Rn[x], Rn[x]), F (f) = (f).
dx
AB i BA mają te same wartości własne.
d
d) F " Hom(R3[x], R3[x]), F (f) = ((x + 3) · f).
dx
16.5 Pokazać, że macierze A i AT mają jednakowe
16.10 Niech F : Rn[x] Rn[x], (F (f))(x) = f(ax+
wielomiany charakterystyczne.
b), gdzie a = 0, a = Ä…1. Znalez
ć wartości własne

operatora F .
16.6 Udowodnić, że jeÅ›li ÇA(x) = xn - a1xn-1 +
a2xn-2 + . . . + (-1)nan jest wielomianem charakte-
16.11 Znalez
ć wszystkie podprzestrzenie przestrze-
rystycznym macierzy A = [aij]n to
n
ni R3 niezmiennicze względem operatora liniowego
n
a) a1 = aii, b) an = det A.
i=1
zadanego w bazie kanonicznej macierzÄ…
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 5 -3 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
16.7 Wykazać, że jeśli operator liniowy F na prze-
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) ïÅ‚ śł, b) ïÅ‚ -4 4
śł.
2 1 2 6
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
strzeni wektorowej V jest odwracalny to operatory
2 2 1 4 -4 5
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
F i F mają te same wektory własne. Jaki jest
an-1 an-2 . . . a1 a0
ïÅ‚ śł
związek między wartościami własnymi obu opera-
ïÅ‚ śł
1 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
torów?
16.12 Niech A = ïÅ‚ 0 1 . . . 0 0 śł.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
16.7 Niech F , G operatory na przestrzeni wekto-
0 0 . . . 1 0
Znalez
ć wielomian charakterystyczny macierzy A.
rowej V , takie że F G = GF . Pokazać, że jeśli v
jest wektorem własnym F odpowiadającym warto-
16.13 Obliczyć f(A), gdy:
îÅ‚ Å‚Å‚
ści własnej  to G(v) jest też wektorem własnym
1 2
ðÅ‚ ûÅ‚
a) f(x) = x3 - 4x2 + x - 1, A = ;
F odpowiadajÄ…cym .
-2 1
b) f(x) = (2x5 - 2x3 + 7)(x2 - 5x + 10) + x + 5,
16.8 Wyznaczyć wartoÅ›ci wÅ‚asne oraz podprzestrze- îÅ‚ Å‚Å‚
4 -3
ðÅ‚ ûÅ‚
nie własne operatorów liniowych mających w pew- A = ;
2 1
nej bazie przestrzeni wektorowej dane macierze (roz- îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0
ïÅ‚ śł
ważyć przypadki gdy przestrzeń wektorowa jest nad
ïÅ‚ śł
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
c) f(x) = 5x6-x4+2x2-3x+2, A =
ïÅ‚ śł
ciałem R , Q , C)
0 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 0