Twierdzenie Plancherela
Helena Gawrońska
Alina MalÄ…g
10 czerwca 2015
1 Transformata Fouriera
Postawimy definicjÄ™ transformaty Fouriera dla funkcji o argumentach wektorowych. Dla danej
funkcji f " L1(Rn) )" L2(Rn) , jej transformatÄ™ Fouriera definiujemy jako:

Ć
f(¾) := (2Ä„)-n/2 f(x)ei¾xdx.
Rn
Ć
Oznaczmy odwzorowanie f f jako F
Stosuje się również alternatywną definicję transformaty: Transformacja z dziedziny czasu t w
dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)
"

Ć
É : f(É) = f(t)e-iÉtdt
-"
gdzie
" f(t) - funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu
Ć
" f(É)- transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji
2Ä„
" É = = 2Ä„½ - pulsacjÄ… proporcjonalnÄ… do czÄ™stotliwoÅ›ci oscylacji ½
T
Zdefiniujemy także unitarną transformację z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości
kołowej)
"

1
Ć
"
É : f(É) = f(t)e-iÉtdt
2Ä„
-"
i transformacjÄ™ odwrotnÄ…:
"

1
Ć
"
f(t) = f(É)eiÉtdÉ
2Ä„
-"
"1
Czynnik przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast takiej
2Ä„
1
postaci może występować czynnik przed transformacją prostą, albo (częściej) przed trans-
2Ä„
"1
formacją odwrotną Jeżeli jednak czynnik wynosi , wtedy transformacja i transformacja
2Ä„
odwrotna są izometriami przestrzeni L2(R) Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popular-
niejsza, nie posiada jednak własności unitarności.
1
2 Twierdzenie Plancherela
Ponieważ miara Lebesgue a zbioru R jest nieskończona, zatem L2 nie jest podprzestrzenią prze-
strzeni L1, a więc nie można zastosować definicji transformaty Fouriera do każdej funkcji f " L2
Ć
(Definicję tę można stosować, gdy f " L2 )" L1) Okazuje się wówczas, że wówczas f " L2.
Ć
Co więcej ||f||2 = ||f||2. Transformacja Fouriera jest więc izometrią przestrzeni L1 )" L2 w L2.
Izometrię tę rozszerza się do izometrii przestrzeni L2 na siebie. Rozszerzenie to określa transfor-
matÄ™ Fouriera (zwanÄ… czasem transformatÄ… Plancherela) dowolnej funkcji f " L2. Otrzymana w
ten sposób teoria w przestrzeni L2 ma o wiele wyższy stopień symetrii niż teoria transformacji
Ć
Fouriera w przestrzeni L1. W przestrzeni L2 funkcje f i f odgrywają dokładnie tę samą rolę.
Twierdzenie Plancherela:
Ć
Każdej funkcji f"L2 można przyporządkować funkcję f w taki sposób, że spełnione będą na-
stępujące warunki:
Ć
1. Jeżeli f " L2 )" L1 to f jest transformatą Fouriera w sensie definicji alternatywnej
Ć
2. Dla każdego f"L2 zachodzi równość ||f||2 = ||f||2.
3. Przekształcenie F jest izomorfizmem przestrzeni Hilberta na siebie
4. Niech f " L1(Rn) )" L2(Rn) Na podstawie alternatywnej definicji mamy,że:

" "
1 1
" "
f(x) = F (k)eikxdk Ô! F (k) = f(x)eikxdx,
2Ä„ -"
2Ä„ -"
gdzie F(k) jest transformatÄ… Fouriera z f(x) i f(x) jest odwrotnÄ… transformatÄ… z F(k).
Twierdzenie w takiej postaci będziemy udowadniać.
3 Dowód twierdzenia
Dowód twierdzenia przeprowadzimy w kilku krokach, sprawdzając po kolei założenia twierdze-
nia:
3.1 Krok 1
Na początku sprawdzimy, że funkcja f(x) na przedziale [-a,a] może być rozszerzona w szereg
Fouriera
"

n x n x
f(x) = [ansin( ) + bncos( )] (1)
a a
n=0
f(x) może być zapisana równoważnie jako :
"

in x
a
f(x) = cne (2)
n=-"
Pokażemy teraz, jak cn zapisać w zależności od an i bn. Dla n=0 (1) przyjmuje postać: f(x) = bn
Stosując wzór Eulera, możemy zapisać (1) jako:
" "

an in x -in x bn in x -in x
a a a a
f(x) = b0 + [ (e - e )) + [ (e - e )
2i 2
n=1 n=1
"

an in x -in x bn in x -in x
a a a a
f(x) = b0 + [ (e - e )) + [ (e - e )
2i 2
n=1
2
"

an in x an -in x bn in x bn -in x
a a a a
f(x) = b0 + [ e - e )) + [ e - e )
2i 2i 2 2
n=1
GrupujÄ…c:
" "

an bn -inĄx -an bn -in x
a a
f(x) = b0 + [( + e ) + ( + e ) (3)
2i 2 2i 2
n=1 n=1
Dla n=1 powyższe równanie przyjmuje postać:
1 iĄx 1 -iĄx
a a
f(x) = (-ia1 + b - 1)e + (ia1 + b - 1)e (4)
2 2
Sprawdz
my, jak zachowa siÄ™ (2) dla n=-1 i n=1:
dla n=-1
iĄx
a
f(x) = c1e
dla n=-1
-iĄx
a
f(x) = c-1e
Zauważmy podobieństwo powyższych wyrażeń do (4), gdy :
1
c1 = (-a1 + b1)
2
i
1
c-1 = (a1 + b1)
2
Zatem, w ogólności:
"

n x n x
f(x) = [ansin( ) + bncos( )]
a a
n=0
może być zapisana jako:
"

in x
a
f(x) = cne ,
n=-"
1 1
gdzie c0 = b0, c1 = (-a1 + b1)ic-1 = (a1 + b1)
2 2
3.2 Krok 2
Wykażemy teraz, że:

+a
1 -inĄx
a
cn = f(x)e dx (5)
2a -a
W tym celu pomnożymy obie strony równania (2) przez
Ć"
m
, przy czym
nĄix
a
Ćn = e

" "
a a

Ć" (x)f(x)dx = cn Ć" (x)Ćn(x)dx = 2acn´mn = 2acm
m m
-a -a
-" -"
Ortonormalność Ćn i Ć" wybija wszystkie wyrażenia oprócz n = m, a więc odpowiednich dla
m
delty Kroneckera. Zatem mamy:

a
Ć" (x)f(x)dx = 2acm
m
-a
3
ZamieniajÄ…c indeksy z m na n otrzymujemy:

a
Ć"(x)f(x)dx = 2acn
n
-a
Wyliczając cn i pamiętając, że
inĄx
a
Ćn = e
ostatecznie otrzymujemy, że:

+a
1 -inĄx
a
cn = f(x)e dx
2a -a
3.3 Krok 3

nĄ 2
Teraz wyeliminujemy n i cn oraz zastosujemy podstawienie: k = oraz F (k) = acn
a Ä„
Wtedy (2) ma postać:
"

1
f(x) = F (k)eikx"k
2Ä„
-"
oraz (5) (z kroku 2):

a
1
F (k) = f(x)e-iksdx
2Ä„ -a
WyliczajÄ…c cn z

2
F (k) = acn
Ä„
mamy:

1 Ä„
cn = F (k)
a 2
Dodatkowo wiemy, że
"nĄ
"k =
a
"n = 1
"k 1
=
Ä„ a
Podstawiając powyższe do (2) otrzymujemy:


"

"k 1 Ä„ 1
f(x) = F (k)eikx = F (k)eikx"k
Ä„ a 2 2Ä„
-"

1 Ä„
Z drugiej strony dla F(k) otrzymujemy (5). Ale cn = F (k) , zatem :
a 2


a
1 Ą 1 inĄx
a
F (k) = f(x)e dx
a 2 2a -a
Po przekształceniu i podstawieniu
nĄ
"k =
a
otrzymujemy:

a
1
F (k) = f(x)e-iksdx
2Ä„ -a
4
3.4 Krok 4
Aby zakończyć dowód należy rozważyć granicę przy a " dla dwóch rezultactów z kroku 3:
1.

"
"

1 1
" "
lim f(x) = lim F (k)eikx"k = F (k)eikxdk
"k0 "k0
2Ä„ 2Ä„ -"
-"
2.

a "
1 1
" "
lim F (k) = lim f(x)eikxdx = f(x)eikxdx
a" a"
2Ä„ -a
2Ä„ -"
StÄ…d otrzymujemy tezÄ™:

" "
1 1
" "
f(x) = F (k)eikxdk Ô! F (k) = f(x)eikxdx
2Ä„ -"
2Ä„ -"
4 Przykład
Niech f(x) = e-|x|. Wówczas
2
F (x) =
1 + É2
Zatem:

" " " " "
1 1 2Ä„ Ä„ Ä„
dÉ = |F (É)|2dÉ = |f(x)|2dx = e-2|x|dx = Ä„ e-2xdx =
-" (1 + É2)2 4 -" 4 -" 2 -" 0 2
5