Przykład 1.1 Kratownica płaska I. W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć przemieszczenie pionowe v węzła C i przemieszczenie poziome u węzła D. Przyjęto stałą sztywność prętów EA. Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy Przemieszczenia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru li 1 15 15 Ni Ni dsi 1 1 w = = Ni li (1) " "Ni +" Ei Ai EA i=1 i=1 0 gdzie: w - szukane przemieszczenie, Ni - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego, Ni1 - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w węzle, której kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego przemiesz- czenia, li - długość i-tego pręta kratownicy. I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v węzła C. 1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego. Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór 3 3 = 0 - P �" l + RB �" 4l = 0 RB = P "M A 2 8 5 = 0 VA + RB - P = 0 VA = P "Piy 8 = 0 H = 0 "Pix A Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił Ni w kratownicy od obciążenia zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 3). 1 2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od pionowej siły P = 1, przyłożonej w węzle C. Rys. 2. Schemat statyczny Wyznaczamy reakcje podpór 1 1 1 1 = 0 -1�" 2l + RB �" 4l = 0 RB = "M A 2 1 1 1 1 1 = 0 VA + RB -1 = 0 VA = "Piy 2 1 1 = 0 H = 0 "Pix A Wyznaczone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 4). 1 Tabela 1. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń Ni Ni li oraz ich sumy. (znak - oznacza ściskanie pręta) 1 Pręt li [m] Ni [N] Ni1 Ni Ni li [Nm] 1 l 5 1 5 P Pl 16 4 64 2 l 15 3 45 P Pl 16 4 64 3 l 9 3 27 P Pl 16 4 64 4 l 3 1 3 P Pl 16 4 64 5 5 5 5 25 5 - 5P l - Pl 16 2 4 128 5 6 5 5 25 5 Pl 5P l 16 2 4 128 A 5 7 5 5 25 5 - 5P l - Pl 16 2 4 128 2 3 8 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 4 128 3 9 5 5 15 5 5P l Pl 16 2 4 128 3 10 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 4 128 3 11 5 5 15 5 5P l Pl 16 2 4 128 3 12 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 4 128 13 l 5 1 5 - P - Pl 8 2 16 14 l 3 -1 3 - P Pl 4 4 15 l 3 1 3 - P - pl 8 2 16 15 1 40 +15 5 Ni li = Pl "Ni i=1 16 3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v węzła C. Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy 15 1 40 +15 5 Pl Pl v = Ni1li = �" E" 4,60 "Ni EA 16 EA EA i=1 Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 2). II. Wyznaczenie przemieszczenia poziomego u węzła D. 1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od poziomej siły P = 1, przyłożonej w węzle D. Rys. 3. Schemat statyczny 3 Wyznaczamy reakcje podpór 1 1 1 1 = 0 -1�" l + RB �" 4l = 0 RB = "M A 4 1 1 1 1 1 = 0 -VA + RB = 0 VA = "Piy 4 1 1 1 = 0 - H +1 = 0 H = 1 "Pix A A Wyznaczone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w tablicy 2 (kolumna 4). Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego są takie same jak w tablicy 1 (kolumna 3) 1 Tabela 2. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń Ni Ni li oraz ich sumy. (znak - oznacza ściskanie pręta) 1 Pręt li [m] Ni [N] Ni1 Ni Ni li [Nm] 1 l 5 7 35 P Pl 16 8 128 2 l 15 5 75 P Pl 16 8 128 3 l 9 3 27 P Pl 16 8 128 4 l 3 1 3 P Pl 16 8 128 5 5 5 5 25 5 - 5P l - Pl 16 2 8 256 5 6 5 5 25 5 5P l - - Pl 16 2 8 256 5 7 5 5 25 5 - 5P l - Pl 16 2 8 256 3 8 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 8 256 3 9 5 5 15 5 5P l Pl 16 2 8 256 3 10 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 8 256 3 11 5 5 15 5 5P l Pl 16 2 8 256 3 12 5 5 15 5 - 5P l - Pl 16 2 8 256 13 l 5 1 5 - P - Pl 8 4 32 4 14 l 3 1 3 - P - Pl 4 2 8 15 l 3 3 9 - P - Pl 8 4 32 15 9 1 Pl Ni li = "Ni 32 i=1 2. Obliczenie przemieszczenia poziomego u węzła D. Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy 15 1 9 Pl Pl u = Ni1li = �" E" 0,28 "Ni EA 32 EA EA i=1 Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 3). 5