Przykład 1.1 Kratownica płaska I.
W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć
przemieszczenie pionowe v węzła C i przemieszczenie poziome u węzła D. Przyjęto stałą
sztywność prętów EA.
Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy
Przemieszczenia wyznaczymy stosujÄ…c metodÄ™ Maxwella-Mohra, korzystajÄ…c ze wzoru
li 1
15 15
Ni Ni dsi 1
1
w = = Ni li (1)
" "Ni
+"
Ei Ai EA
i=1 i=1
0
gdzie: w - szukane przemieszczenie,
Ni - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
Ni1 - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w
węz
le, której kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego przemiesz-
czenia,
li - długość i-tego pręta kratownicy.
I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór
3 3
= 0 - P Å" l + RB Å" 4l = 0 RB = P
"M A
2 8
5
= 0 VA + RB - P = 0 VA = P
"Piy
8
= 0 H = 0
"Pix A
Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi
zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił Ni w kratownicy od obciążenia
zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 3).
1
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od pionowej siły P = 1, przyłożonej w węz
le C.
Rys. 2. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1
1 1 1
= 0 -1Å" 2l + RB Å" 4l = 0 RB =
"M A
2
1
1 1 1 1
= 0 VA + RB -1 = 0 VA =
"Piy
2
1 1
= 0 H = 0
"Pix A
Wyznaczone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
tablicy 1 (kolumna 4).
1
Tabela 1. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń Ni Ni li oraz ich sumy.
(znak  -  oznacza ściskanie pręta)
1
Pręt li [m] Ni [N]
Ni1 Ni Ni li [Nm]
1 l 5 1 5
P Pl
16 4 64
2 l 15 3 45
P Pl
16 4 64
3 l 9 3 27
P Pl
16 4 64
4 l 3 1 3
P Pl
16 4 64
5 5
5 5 25 5
- 5P
l - Pl
16
2 4 128
5
6
5 5 25 5 Pl
5P
l
16
2 4 128 A
5
7
5 5 25 5
-
5P
l - Pl
16
2 4 128
2
3
8
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 4 128
3
9
5 5 15 5
5P
l Pl
16
2 4 128
3
10
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 4 128
3
11
5 5 15 5
5P
l Pl
16
2 4 128
3
12
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 4 128
13 l 5 1 5
- P - Pl
8 2 16
14 l 3 -1 3
- P Pl
4 4
15 l 3 1 3
- P - pl
8 2 16
15
1 40 +15 5
Ni li =
Pl
"Ni
i=1 16
3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
15
1 40 +15 5 Pl Pl
v = Ni1li = Å" E" 4,60
"Ni
EA 16 EA EA
i=1
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 2).
II. Wyznaczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od poziomej siły P = 1, przyłożonej w węz
le D.
Rys. 3. Schemat statyczny
3
Wyznaczamy reakcje podpór
1
1 1 1
= 0 -1Å" l + RB Å" 4l = 0 RB =
"M A
4
1
1 1 1 1
= 0 -VA + RB = 0 VA =
"Piy
4
1 1 1
= 0 - H +1 = 0 H = 1
"Pix A A
Wyznaczone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
tablicy 2 (kolumna 4). Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego są takie same jak w tablicy
1 (kolumna 3)
1
Tabela 2. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń Ni Ni li oraz ich sumy.
(znak  -  oznacza ściskanie pręta)
1
Pręt li [m] Ni [N]
Ni1 Ni Ni li [Nm]
1 l 5 7 35
P Pl
16 8 128
2 l 15 5 75
P Pl
16 8 128
3 l 9 3 27
P Pl
16 8 128
4 l 3 1 3
P Pl
16 8 128
5 5
5 5 25 5
- 5P
l - Pl
16
2 8 256
5
6
5 5 25 5
5P
l - - Pl
16
2 8 256
5
7
5 5 25 5
- 5P
l - Pl
16
2 8 256
3
8
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 8 256
3
9
5 5 15 5
5P
l Pl
16
2 8 256
3
10
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 8 256
3
11
5 5 15 5
5P
l Pl
16
2 8 256
3
12
5 5 15 5
- 5P
l - Pl
16
2 8 256
13 l 5 1 5
- P - Pl
8 4 32
4
14 l 3 1 3
- P - Pl
4 2 8
15 l 3 3 9
- P - Pl
8 4 32
15
9
1
Pl
Ni li =
"Ni
32
i=1
2. Obliczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
15
1 9 Pl Pl
u = Ni1li = Å" E" 0,28
"Ni
EA 32 EA EA
i=1
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 3).
5