Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
Temat III
Założenia analizy i obliczeń zginanych konstrukcji żelbetowych.
1. Efektywna rozpiętość belek i płyt
leff =� ln +� a1 +� a2
2. Momenty podporowe
Jeżeli belka lub płyta jest monolitycznie połączona z podporami, to za krytyczny obliczeniowy moment
podporowy powinno się przyjmować moment na krawędzi podpory.
Uwaga: Moment na krawędzi podpory nie powinien być mniejszy niż 0,65 momentu pełnego zamocowania.
Mfix = ql2/2 Mfix = ql2/8 Mfix = ql2/12
Jeżeli belka lub płyta jest ciągła nad podporą, która  jak założono  nie ogranicza swobody obrotu (np. nad
ścianą), to można moment obliczeniowy wyznaczony przy założeniu, że rozpiętość efektywna jest równa
odległości między osiami podpór, zmniejszyć o wartość D�MEd wyznaczoną ze wzoru:
D�M =� 0,125FEd ,supt
Ed
Dla cienkich płyt, w których (zazwyczaj) h < t, rozpiętość obliczeniowa przęseł l0 jest bliska rozpiętości w świetle
krawędzi podpór (ln). Wtedy, w zasadzie nie należy redukować momentów nad podporami do momentów
krawędziowych (wykorzystując D�Med ze wzoru j.w.).
3. Odkształcenia i naprężenia w przekroju zginanym
fcd fcd
h�fcd
e�cu,i
e�c1 e�c2 3 l�x
1 2 P
x
e�c3
e�ud =� 0,9e�uk
f
yd
e� =�
yd
Es
Projektowanie przekrojów
fyd
kfyd
Modele betonu w analizie przekrojów
1
Analiza przekrojów
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
Porównanie wyników obliczeń przekrojów zginanych dla różnych modeli betonu
x/d z/d MRd/bd2fcd
w�=As1fyd/bdfcd
2 3 p 2 3 p 2 3 p
0,05 0,062 0,067 0,050 0,974 0,970 0,975 0,049 0,049 0,049
0,1 0,124 0,133 0,100 0,949 0,941 0,950 0,095 0,094 0,095
0,15 0,185 0,200 0,150 0,923 0,911 0,925 0,138 0,137 0,139
0,2 0,247 0,267 0,200 0,897 0,881 0,900 0,179 0,176 0,180
0,25 0,309 0,333 0,250 0,872 0,852 0,875 0,218 0,213 0,219
0,3 0,371 0,400 0,300 0,846 0,822 0,850 0,254 0,247 0,255
0,35 0,432 0,467 0,350 0,820 0,793 0,825 0,287 0,277 0,289
0,4 0,494 0,533 0,400 0,794 0,763 0,800 0,318 0,305 0,320
0,45 0,556 0,600 0,450 0,769 0,733 0,775 0,346 0,330 0,349
0,5 0,618 0,667 0,500 0,743 0,704 0,750 0,372 0,352 0,375
100% 108% 81% 100% 95% 101% 100% 95% 101%
Prostokątny rozkład naprężeń
Parametry betonu w prostokątnym rozkładzie naprężeń
Dla fck d" 50 MPa (betony o normalnej wytrzymałości stosowane powszechnie w konstrukcjach żelbetowych):
l� =� 0 ,8
h� =� 1 ,0
Dla fck > 50 MPa (betony o podwyższonej wytrzymałości stosowane wyjątkowo w konstrukcjach żelbetowych):
fck -� 50
l� =� 0 ,8 -�
400
fck -� 50
h� =� 1 ,0 -�
200
Uwaga!
Często w literaturze, dla betonów o normalnej wytrzymałości, pomija się we wzorach  mnożnik h� = 1,0, a
wysokość l�x = 0,8x oznacza się xeff.
4. Wymiarowanie prostokątnych przekrojów zginanych pojedynczo zbrojonych
b
h�fcd
xeff=l�x
(xeff < l�xlim)
d
MRd
Asfyd
As
Warunek równowagi siły osiowej w przekroju: fyd As =� h�l�fcd bx
l�x
��
Warunek równowagi momentu w przekroju: MRd =� nh�fcd bxl�ć�d -�
�� ��
2
Ł� ł�
Warunek nośności przekroju: MEd Ł� MRd
2
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
I. Obliczenie zbrojenia wymaganego do przeniesienia momentu MEd
1 -� 1 -� 2 sc
x =� d x Ł� xlim
?
l�
MEd
sc =�
l�x
2
bd h�fcd z =� d -�
2
MEd
As =�
c�
zfyd
1 +� 1 -� 2 sc
z =� d
2
II. Sprawdzenie nośności przekroju z założonym zbrojeniem
Asfyd
l�x
MEd Ł� MRd =� As zfyd
x =�
z =� d -�
bl�fcd
2
?
x Ł� xlim
Przykład 3.1
Wyznaczyć zbrojenie przekroju przęsłowego płyty o grubości 150 mm wykonanej z betonu C20/25 obciążonej
momentem zginającym MEd 17 kNm (na 1 m szerokości płyty). Przyjąć cnom = 25 mm. Dobrać stal i średnicę
prętów.
1. Materiały konstrukcyjne
1.1 Beton C20/25
N: 3.1.2 (3)Tab.3.1
fck = 20 MPa; e�cu2 = 3,5 0
NA: Tabl. NA.2
g�c = 1,4 �
N: 3.1.6 (1)P i (2)P
przyjęto: a�cc = 1,0; a�ct = 1,0;
N:3.1.7 (3)
przyjęto: l� = 0,8; h� = 1,0;
N:3.1.6. wz.(3.16)
fcd = 1,0x20/1,4 = 14,30 MPa;
1.2 Przyjęto stal: RB500W kl. C
fyk = 500 MPa; Es = 200 GPa;
N: 3.2.7 (2) b)
przyjęto poziomą górną gałąz
wykresu odkształceń
NA: Tabl. NA.2
g�s = 1,15
N: 3.3.6 (6)
fyd = 500/1,15= 435 MPa;
2. Obliczenie wysokości użytecznej d:
Założono zbrojenie prętami Ć� = 6 mm
d = h - cnom  �/2 = 150  25  6/2 = 122 mm
3. Obliczenie granicznej wysokości strefy ściskanej xlim:
e�yd = fyk/ �g�s/Es = 500/1,15/200000 = 2,18 0
x = e�cu2/( �e�cu2 - �e�yd)d = 3,5/(3,5+2,18)122 = 75,2 mm
,lim
4. Wyznaczenie zbrojenia na zginanie
sc = MEd/bd2fcd = 17,0/1,00x0,1222x14300 = 0,080
4.1. Sprawdzenie zasięgu strefy ściskanej:
1 -� 1 -� 2 sc
1 -� 1 -� 2 x0 ,08
x =� d =� 122 = 12,7 mm < xlim = 75 mm  > OK
l� 0 ,8
4.2. Wyznaczenie pola przekroju zbrojenia
ramię sił wewnętrznych z:
3
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
1 +� 1 -� 2 sc
1 +� 1 -� 2 x0 ,08
z =� d =� 122 mm = 117 mm
2 2
albo: z = d  l�x/2 = 122  0,8x12,7/2 = 117 mm
As,req = Med/(zfyd) = 17,0/0,117x435000) = 334 mm2
w płytach, zwykle obliczanych na 1 m szerokości, zbrojenie oznacza się:
As,req = 334 mm2/m
Przykład 3.2
Wyznaczyć zbrojenie przekroju podporowego belki dwuprzęsłowej o wysokości h = 500 mm i szerokości
b = 300 mm. Beton C25/30; stal jak w przykładzie 3.1. Moment zginający w osi podpory MEd = 312,50 kNm;
reakcja na podporze FEd = 625 kN; obciążenie całkowite qEd = 150 kN/m; szerokość podpory 250 mm. Przyjąć
cnom = 30 mm. Dobrać średnicę prętów. Rozmieścić zbrojenie w przekroju.
1. Materiały konstrukcyjne
Z przykładu 3.1:
1.1 Beton C25/30
N: 3.1.2 (3)Tab.3.1
fck = 20 MPa; e�cu2 = 3,5 0
NA: Tabl. NA.2
g�c = 1,4 �
N: 3.1.6 (1)P i (2)P
przyjęto: a�cc = 1,0; a�ct = 1,0;
N:3.1.7 (3)
przyjęto: l� = 0,8; h� = 1,0;
N:3.1.6. wz.(3.16)
fcd = 1,0x25/1,4 = 17,90 MPa;
1.2 Stal: RB500W kl. C
fyd = 435 MPa;
2. Obliczenie wysokości użytecznej d:
Założono zbrojenie prętami Ć� = 16 mm
d = h - cnom  �/2 = 500  30  16/2 = 462 mm
3. Obliczenie granicznej wysokości strefy ściskanej xlim:
e�yd = 2,18 0 (z przykładu 3.1)
x = e�cu2/( �e�cu2 - �e�yd)d = 3,5/(3,5+2,18)462 = 285 mm
,lim
4. Obliczenie momentu krawędziowego
Reakcja na podporze: FEd = 625 kN/m
Szerokość podpory: t = 25cm
Redukcja momentu w osi podpory:
N: 5.3.2.2 wz (5.9)
D�MEd = 0,125FEdt = 0,125x625,0x0,25 = 19,5 kNm
Moment krawędziowy:
MEd,eff = MEd - D�MEd = 312,5  19,5 = 293,0 kNm
Moment zamocowania: Mfix = qEdl2/8 = 150x5,02/8 = 468,8 kNm
N: 5.3.2.2 (3)
MEd,eff = 293,0 kNm > 0,65Mfix = 0,65x468,8 = 304,7 kNm
5. Wyznaczenie zbrojenia na zginanie
sc = MEd,eff/bd2fcd = 293,0/0,30x0,4622x17900 = 0,154
5.1. Sprawdzenie zasięgu strefy ściskanej:
1 -� 1 -� 2 sc
1 -� 1 -� 2 x0 ,154
x =� d =� 462 = 118,1 mm < xlim = 286 mm
l� 0 ,8
OK
5.2. Wyznaczenie pola przekroju zbrojenia
ramię sił wewnętrznych z:
z = d  l�x/2 = 462  0,8x118,1/2 = 414,8 mm
As,req = MEd,eff/(zfyd) = 293,0/(0,415x435000) = 1623 mm2
4
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
5.3. Wyznaczenie liczby prętów; przyjęta powierzchnia zbrojenia
Dla �16 mm: As,� = 201 mm2
Wymagana liczba prętów: ns = As,req/As,Ć� = 1623/201 = 8,07 szt
Przyjęto zbrojenie 10Ć�16 o As,prov = 10x201 = 2010 mm2
6. Rozmieszczenie zbrojenia
N: 8.2 (2)
as,min = max(�; dg + 5 mm; 20 mm) = max(16; 16+5; 20) = 21 mm
Przyjęto strzemiona o średnicy Ć�2 = 6 mm,
Szerokość  netto przekroju (na której można rozmieścić zbrojenie):
bn = b  2cnom= 300-2x30 = 240 mm
Rozmieszczono w dolnej warstwie 6 prętów w średnim rozstawie:
as = (bn - 6�)/5 = (240  6x16)/5 = 28,8 mm > as,min = 21 mm  > OK
W drugiej warstwie 4Ć�16. Odstęp warstw w pionie, przyjęto: as = 25 mm
Uwaga!
Ponieważ konieczne jest ułożenie przyjętego zbrojenia w dwóch
warstwach, należy skorygować wartość d i zweryfikować nośność
przekroju.
7. Weryfikacja nośności przekroju
7.1 Korekta wartości d
Dolna warstwa 6�16: yI = 30 + 16/2 = 38 mm
Druga warstwa 4�16: yII = 38 + 25 + 16/2 = 71 mm
Środek c. zbrojenia: y = (6x38+4x71)/10 = 51,2 mm
Skorygowana wysokość użyteczna d = 500  51,2 = 448,8 mm
7.2 Nośność przekroju
Asfyd 2010 x435
x =� =� =� 203,5 mm < xlim = 285 mm -> OK
bl�fcd 300 x0 ,8 x 17 ,9
z = d  l�x/2 = 448,8-0,8x203,5/2 = 367,4 mm
MRd = Asfydz = 2010x10-6x435000x0,367 = 320,9 kNm
MRd = 320,9 kNm > MEd,eff = 293,0 kNm  > OK
300
30 240 30
60 3x16+2x21=90
5
30
51,2
d=448,8
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
4. Przekroje podwójnie zbrojone. Uwzględnienie zbrojenia w strefie ściskanej
x >xlim (dla As2 = 0)
b
h�fcd h�fcd
a2
As2fyd a2
As2fyd
As2
l�xlim l�xlim
d
+
=
MRd
(As1,c+As2)fyd
As1,cfyd As2fyd
As1
I. Obliczenie zbrojenia As1 i As2 wymaganego do przeniesienia momentu MEd
l�xlim �� l�bxlimh�fcd
ć�
MRd ,c =� bl�xlimh�fcd d -� �� As 1 ,c =�
��
2 fyd
Ł� ł�
MEd -� MRd ,c
As 2 =�
As 1 =� As 2 +� As 1 ,c
(�d -� a2 )�fyd
II. Sprawdzenie nośności przekroju z założonym zbrojeniem As1 i As2
(�As 1
ć� -� As 2 )�fyd ��
l�x
�� MEd Ł� MRd =� bl�xh�fcd z +� As 2fyd (�d -� a2 )�
x =� min ; xlim ��
z =� d -�
�� ��
bh�l�fcd
2
Ł� ł�
Przykład 3.3
Wyznaczyć zbrojenie przekroju przęsłowego belki jak w przykładzie 3.2. Moment zginający MEd = 420 kNm.
1. Obliczenie wysokości użytecznej d:
Założono zbrojenie prętami Ć� = 16 mm w dwóch warstwach
w rozstawie a = 25 mm
d = h - cnom  � - a = 500  30  16  25/2 = 442 mm
2. Wyznaczenie zbrojenia na zginanie
sc = MEd/bd2fcd = 420,0/0,30x0,4422x17900 = 0,400
2.1. Sprawdzenie zasięgu strefy ściskanej:
1 -� 1 -� 2 sc
1 -� 1 -� 2 x0 ,400
x =� d =� 442 = 305 mm
l� 0 ,8
x = 305 mm > xlim = 285 mm (z przykładu 3.2 p-kt 3)
Przekrój należy rozpatrywać jako podwójnie zbrojony
2.2. Wyznaczenie udziału momentu zginającego przenoszonego przez beton
MRd,c = bl�xlimfcd(d-l�xlim/2) = 0,30x0,8x0,285x17900(0,442-0,8x0,285/2)=
MRd,c = 401,6 kNm < MEd = 420 kNm  potwierdzenie przypadku
As1,c = = bl�xlimfcd/fyd = 300x0,8x285x17,9/435 = 2815 mm2
6
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
2.2. Wyznaczenie wymaganej powierzchni stali ściskanej
Odległość ś.c. stali ściskanej od górnej krawędzi betonu (1 warstwa)
a2 = cmon + �/2 = 30 + 16/2 = 38 mm
As2,c = (MEd  MRd,c)/[(d-a2)fyd] = (420-401,6)/[(0,442-0,038)435000 =
As2,c = 104,7x10-6 m2 = 105 mm2
2.4. Wyznaczenie liczby prętów; przyjęta powierzchnia zbrojenia
Wymagane zbrojenie dolne: As1,req = As1,c +As2 = 2815+105 = 2920 mm2
Przyjęte zbrojenie dolne:
Dla �1 = 16 mm: As,�1 = 201 mm2; dla �2 = 20 mm: As,�2 = 314 mm2
Dolna warstwa 6�20: as,min = max(20; 16+5; 20) = 21 mm
Rozstaw: as = (240  6x20)/5 = 24,0 mm > as,min = 21 mm  > OK
Druga warstwa: 6Ć�16 (rozstaw z przykładu 3.2 OK.)
A
ączna powierzchnia zbrojenia dolnego (6Ć�20+6Ć�16):
As1,prov = 6x314+6x201 = 3090 mm2 > As1,req = 2920 mm2 -> OK
A
ączna powierzchnia zbrojenia górnego (2Ć�16):
As2,prov = 2x201 = 402 mm2 > As2 = 105 mm2 -> OK
Uwaga!
Ponieważ konieczne jest ułożenie przyjętego zbrojenia w dwóch
warstwach, należy skorygować wartość d i zweryfikować nośność
przekroju.
3. Weryfikacja nośności przekroju
3.1 Korekta wartości d
Założono  bezpiecznie dcor = d  (Ć�2 - Ć�1) = 442-(20-16) = 438 mm
Skorygowana wysokość użyteczna d = dcor =438 mm
3.2 Nośność przekroju
ć� (�As 1 -� As 2 )�fyd ��
ć� (�2920 -� 402 )�435 ��
��
x =� min ; xlim �� =� min �� ;285 �� = 255 mm
�� ��
�� ��
bl�fcd 300 x0 ,8 x17 ,9
Ł� ł�
Ł� ł�
z = d  l�x/2 = 438-0,8x255/2 = 336,0 mm
MRd = bl�xfcdz + As2fyd(d-a2) =
= 0,30x0,8x0,255x17900x0,336+402x10-6x435000x(0,438-0,038) =
MRd = 490,5 kNm > MEd,eff = 420 kNm  > OK
300
30 240 30
7
30
2
a =38
Dr inż. Zbigniew PLEWAKO Ćwiczenia z konstrukcji żelbetowych. Temat III
30 240 30
300
8
d=438
20
30
21