GRUPY SYMETRII
Symetria kryształu
Zamknięte (punktowe) operacje symetrii (minimum jeden punkt
przestrzeni nie porusza się wskutek zastosowania zamkniętej
operacji symetrii):
 Obroty i obroty inwersyjne;
 Inwersja (symetria środkowa);
 Odbicie (symetria przez płaszczyznę);
Otwarte operacje symetrii (nie ma stałego punktu):
 Translacja;
 Obrót śrubowy;
 Poślizg;
Grupy punktowe
możliwe w kryształach kombinacje
makroskopowych elementów
symetrii przecinających się w
jednym punkcie
1
Punkty równoważne (symetrycznie)
Aby dany kryształ miał rzeczywiście symetrię taką jak
pusta komórka elementarna, atomy w niej się
znajdujące muszą być w odpowiednich miejscach.
Macierze symetrii są bardzo przydatne do wyznaczania
położeń punktów symetrycznie równoważnych.
Punkty równoważne (symetrycznie)
Przykład: w krysztale istnieje oś 4x. Jak należy umieścić
w niej atomy? Najpierw, należy utworzyć macierz
przekształcenia:
1 0 0
Ą# ń#
ó#0
4x = 0 -1Ą#
ó# Ą#
ó#
Ł#0 1 0 Ą#
Ś#
Niech w krysztale znajduje się atom w położeniu
x y z. Gdzie jeszcze muszą być takie same
atomy?
2
Punkty równoważne (symetrycznie)
Położenia wszystkich punktów równoważnych
otrzymamy działając macierzą przekształcenia na punkt
x y z i kolejne punkty równoważne tak długo, aż
wrócimy do punktu wyjścia.
1 0 0 x x
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 0 0 x x
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 0 -1Ą# " ó#y Ą# ó#
ó#0 0 -1Ą# " ó# Ą# ó# Ą#
=
= z
ó# Ą# ó# Ą# ó#- zĄ#
Ą#
ó# Ą# ó#- y Ą# ó# Ą#
ó#
ó# Ą#
Ł#0 1 0 Ą# ó# Ś# Ł# Ś#
Ś# Ł#zĄ# ó# y Ą#
Ł#0 1 0 Ą# ó#- zŚ# ó#- y Ą#
Ś# Ł# Ł# Ś#
1 0 0 x x
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 0 0 x x
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 0 -1Ą# " ó# ó# Ą#
ó#0 0 -1Ą# " ó# Ą# ó#y Ą#
=
z =
ó# Ą# ó#- zĄ# ó#- y Ą#
Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Ą# ó#
Ł#0 1 0 Ą# ó# y Ą# ó#- zŚ# ó# 1 0 Ą# ó#- y
Ś# Ł# Ś# Ł#
Ł#0 Ś# Ł# Ś# Ł#zĄ#
Ś#
Punkty równoważne (symetrycznie)
z
x -z y
x y z
y
x z -y
x -y -z
3
Grupy punktowe: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
m jest preferowane względem 2;
Płaszczyzna zwierciadlana prostopadła do osi symetrii
2/m;
Jeśli istnieją dwa niezależne zespoły płaszczyzn
zwierciadlanych, to zapisuje się to jako mm;
Kolejność symboli jest istotna, zgodnie z regułami:
Grupy punktowe: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
Układ Pozycja w symbolu
krystalograficzny
1 2 3
trójskośny
jednoskośny [010]
rombowy [100] [010] [001]
tetragonalny i <001> <100> <110>
heksagonalny
regularny <100> <111> <110>
4
Grupy punktowe: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
Układ Pozycja w symbolu
krystalograficzny
1 2 3
trójskośny 1 lub 1
jednoskośny 2IIY albo mĄ"Y albo 2IIY
i mĄ"Y
rombowy 2IIX albo mĄ"X 2IIY albo mĄ"Y 2IIZ albo mĄ"Z
tetragonalny i główna oś symetrii IIZ 2IIX lub Y albo 2II [111] albo
heksagonalny albo główna oś symetrii mĄ"X lub Y mĄ"[110]
IIZ i mĄ"Z
regularny 4,4,2IIX , Y lub Z, albo 3II [111] 2II [110] albo
mĄ"X, Y lub Z mĄ"[110]
Przykłady konstrukcji (i wypełnienia
atomami) komórek należących do
poszczególnych grup punktowych
5
Układ trójskośny
Grupa punktowa : 1
x y z
z
x
y
z
Układ trojskośny
Grupa punktowa: 1
x
1
2
y
Początek układu
2
współrzędnych i
x y z
środek symetrii
-x -y -z-x+a, -y+b, -z+c
6
Układ trójskośny: projekcje stereograficzne:
1
1
Układ jednoskośny
y
Grupa punktowa: 2
(2 II Y)
2
1
2
x
z
xyz, -xy-z
-x y -z-x+a, y, -z+c
7
Układ jednoskośny
2
Grupa punktowa: m
1
xyz, x-yz
2
Grupa punktowa: 2/m
xyz, -xy-z, x-yz, -x-y-z
2
4 3
1
2
4
3
Układ jednoskośny: projekcje stereograficzne:
m
2
2/m
8
Ą#-1 0 0
ń#
ó#
mx = 0 1 0Ą#
ó# Ą#
Układ rombowy
ó# Ą#
0 0 1Ś#
Ł#
1 0 0
Ą# ń#
ó#0
my = -1 0Ą#
Grupa punktowa: mm2
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 1Ś#
przekształcenia symetrii: mĄ"X, mĄ"Y i 2IIZ
Ą#-1 0 0
ń#
1 0 0 x x
Ą#-1 0 0 x x Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ń# Ą# ń# Ą#- ń#
ó#
ó# ó#y Ą# ó# Ą# ó#0 -1 0Ą# " ó#y Ą# ó# Ą# 2z = 0 -1 0Ą#
0 1 0Ą# " = y = ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#- y Ą#
ó# Ą#
0 0 1Ś#
Ł#
ó# Ą# ó# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0 1Ś# Ł#zĄ# Ł# z
Ł#zĄ# z
Ł# Ś# Ś# Ł#0 0 1Ś# ó# Ś# Ł# Ś#
1 0 0 x x
Ą# ń# Ą#- ń# Ą#- ń#
Ą#-1 0 0 x x
ń# Ą# ń# Ą#- ń#
ó#0 -1 0Ą# " ó# Ą# ó# Ą#
ó# ó# Ą# ó# Ą#
y =
0 1 0Ą# " y = y
ó# Ą# ó# Ą# ó#- y Ą#
ó# Ą# ó#- Ą# ó#- Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0 1Ś# Ł# z z Ł#0 0 1Ś# ó# z Ą# ó# z Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Układ rombowy
Grupa punktowa: mm2
z
xyz, -x-yz, x-yz, -xyz
4
2
1
y
3
x
9
Układ rombowy
Grupa punktowa: 222
xyz, x-y-z, -xy-z, -x-yz
4
1
3
2
10
Układ rombowy
Grupa punktowa: mmm
xyz, xy-z, -x-y-z, x-yz
-xy-z, -xyz, -x-yz, -x-y-z
8
3
2
5
7 1 4
6
6
7
5
2
8
3
Układ rombowy: projekcje stereograficzne
mm2
mmm
222
11
Układ regularny
3 osie 3-
krotne
Możliwe elementy symetrii:
m 2 osie 2-
m 4 osie 4-
płaszczyzny krotne
płaszczyzny krotne
przekątne
równoległe
do ścian
Układ regularny
Dużo elementów
symetrii to dużo
punktów
równoważnych
symetrycznie.
12
Układ regularny: projekcje
stereograficzne elementów
symetrii
Wszystkie grupy punktowe
Układ
krystalograficzny Grupy punktowe
Trójskośny 1, -1
Jednoskośny 2, m, 2/m
Rombowy 222, mm2 , mmm
Tetragonalny 4, -4, 4/m, 4222, 4mm, -42m, 4/mmm
Trygonalny 3, -3, 32, 3m, -3 m
Heksagonalny 6, -6, 6/m, 622, 6mm, -62m, 6/mmm
Regularny 23, m-3, 432, -43m, m3m
13
Wszystkie grupy punktowe
Układ regularny rozpoznaje się po 3-ce na drugiej
pozycji;
Tetragonalny  po 4-ce na pierwszej pozycji;
Trygonalny i heksagonalny odpowiednio po 3-ce i 6-ce
na pierwszej pozycji;
Rombowy i jednoskośny to 2-ki i m, z tym że rombowy
ma trzy symbole;
Wszystkie projekcje stereograficzne
14
15
Hierarchia symetrii
16
Grupy przestrzenne
Wszystkie operacje symetrii, które
przekształcają trójwymiarowy,
periodyczny obiekt (kryształ) w
samego siebie.
Grupa punktowa/grupa przestrzenna
Grupa punktowa to wszystkie punktowe elementy
symetrii np. komórki elementarnej;
Grupa przestrzenna to wszystkie elementy symetrii
nieskończonego kryształu; Inaczej: Kombinacje
elementów symetrii makroskopowych, strukturalnych
(otwarte) i sieci translacyjnych. Jeszcze inaczej:
kombinacja punktowych operacji symetrii z sieciami
Bravais go.
17
Grupy przestrzenne
W ramach 7(6) układów
krystalograficznych
istnieje 14 sieci
Bravais go.
Kombinacja 32
punktowych grup symetrii
z 14-toma sieciami
Bravais go prowadzi do
73 grup przestrzennych.
Są to tzw. grupy
symmorficzne.
Grupy przestrzenne
Pozostałe grupy przestrzenne (w sumie jest ich 230)
powstają poprzez zastąpienie osi symetrii osiami
śrubowymi tej samej krotności oraz zastąpienie
płaszczyzn symetrii płaszczyznami poślizgu.
18
Zasady tworzenia symboli
Pierwsza pozycja: typ sieci Bravais go:
 P: prymitywna, czyli niecentrowana w żaden sposób;
 F: ściennie centrowana;
 I: wewnętrznie centrowana;
 A, B lub C: centrowana tylko na ścianach prostopadłych do
kierunku odpowiednia a, b i c.
 R: komórka romboedryczna
14 sieci Bravais go
19
14 sieci Bravais go
Zasady tworzenia symboli
Dalsze pozycje (w zależności od układu
krystalograficznego) oznaczają różne elementy symetrii
tabelka.
20
Zasady tworzenia symboli: symbole
płaszczyzn poślizgu
Płaszczyzny poślizgu, w zależności od kierunku
translacji, oznacza się:
 a  osiowa - (translacja o � a);
 b  osiowa - (translacja o � b);
 c  osiowa - (translacja o � c);
 d  diamentowa- (translacja o ź (a+b+c) lub ź (a+b) lub ź
(a+c) lub ź (b+c));
 n  diagonalna- (translacja o � (a+b) lub � (a+c) lub �
(b+c) lub � (a+b+c));
21
Zasady
tworzenia
symboli: osie
śrubowe
Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
Układ Pozycja w symbolu
krystalograficzny
2 3 4
trójskośny 1 lub 1
jednoskośny 2 lub 21 IIY albo m (lub
płaszczyzna poślizgu) Ą"Y
albo 2 lub 21 IIY i m (lub
płaszczyzna poślizgu) Ą"2
lub 21
rombowy 2 lub 21 IIX albo m lub 2 lub 21 IIY albo 2 lub 21 IIZ albo
płaszczyzna poślizgu)Ą"X m (lub m (lub
płaszczyzna płaszczyzna
poślizgu)Ą"Y poślizgu)Ą"Z
22
Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
Układ Pozycja w symbolu
krystalograficzny
2 3 4
tetragonalny i główna oś symetrii* IIZ 2IIX lub Y albo 2II [111] albo m
heksagonalny albo główna oś symetrii m (lub (lub płaszczyzna
IIZ i m (lub płaszczyzna płaszczyzna poślizgu)Ą"[110]
poślizgu)Ą"Z poślizgu)Ą"X
lub Y
* = 3, 4, 6, lub 3, 4, 6, lub 3p, 4p, 6p
Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie
międzynarodowym
Układ Pozycja w symbolu
krystalograficzny
2 3 4
regularny 4,4,2 lub 21, 4p IIX , Y lub 3II [111] 2II [110] albo m
Z, albo m lub płaszczyzna lub płaszczyzna
poślizguĄ"X, Y lub Z poślizguĄ"[110]
23
Grupy symmorficzne i niesymmorficzne
Jakie?
Tworzenie grup symmorficznych: struktura
rombowa
4 typy sieci Bravais go (P, I,F, C);
3 grupy punktowe (222, mmm, mm2)
Razem: 3x4+ 1=13 (dlaczego +1?)
P222, Pmmm, Pmm2 Oś 2 Ą" do płaszczyzny
centrowanej jest różna od
I222, Immm, Imm2
osi 2 II do tej
F222, Fmmm, Fmm2 płaszczyzny.
C222, Cmmm, Cmm2,
Amm2
24
Tworzenie grup symmorficznych: struktura
regularna
3 typy sieci Bravais go (P, I,F);
5 grup punktowych (23, m3, 432, -43m, m-3m)
Razem: 3x5=15
P23, Pm3, P432, P 43m, Pm3m
I43m, Im3m
I23, Im3, I432,
F23, Fm3, F432, F43m, Fm3m
Tworzenie grup niesymmorficznych
Grupa symmorficzna: P2/m
xyz, -xy-z, x-yz, -x-y-z
25
Tworzenie grup niesymmorficznych
Grupa
niesymmorficzna:
P21/m
xyz, -x,y+1/2, -z,
x-y+1/2,z, -x-y-z
Przykłady
26
Przykład
c
Z wyboru osi
krystalograficznych wynika,
że centrowanie komórki jest
typu A
b
a
Przykład
c
Komórka należy do układu
rombowego, czyli jej
głównym elementem
symetrii jest dwukrotna oś
obrotu równoległa do a.
b
Komórka ma zwyczajne
a
płaszczyzny odbicia (a nie
poślizgu). Razem:
A2mm
27
Znajdowanie położeń symetrycznie
równoważnych
Podobnie, jak w przypadku grup punktowych,
przekształca się dowolny punkt przez wszystkie
przekształcenia symetrii tak długo, aż wróci się do
punktu wyjścia.
Na przykładzie grupy P21/c
Oś śrubowa równoległa do Y
Ą#-1 0 0 0
ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó#1/
P21/c
21y = 0 1 0 + 2Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# -1Ś# Ł# 0
Ą# ó# Ą#
0 0
Ł# Ś#
Płaszczyzna poślizgu c prostopadła do y
1 0 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 ó# Ą#
c = -1 0Ą# + 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# Ą#
Ł#0 0 1Ś# ó# 2Ś#
Ł#1/
28
Punkty równoważne:
1 0 0 0
Ą#-1 0 0 0 Ą# ń# Ą# ń#
ń# Ą# ń#
ó#0 ó# Ą#
ó# Ą# ó#1/
c = -1 0Ą# + 0
21y = 0 1 0 + 2Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# Ą#
ó# -1Ś# Ł# 0
Ą# ó# Ą#
0 0
Ł#0 0 1Ś# ó# 2Ś#
Ł#1/
Ł# Ś#
P21/c
21 II Y
xyz -x, �+y, -z
poślizg c
21
x, -y, �+z
-x, �-y, �-z
Punkty równoważne
krotność punktu o dowolnym położeniu
P21/c
x,y,z wynosi 4 (xyz, x  y z + �, -x y+ �
-z, -x  y + � -z + �) ;
ile wynosi krotność punktów
szczególnych?
 000
 � � �
29
Krotność punktów równoważnych w grupie nr
230
96h1 x, y, z
48g..2 0.125, y, 0.25-y
48f 2.. x, 0, 0.25
32e.3. x, x, x
24d-4.. 0.375, 0, 0.25
24c2.22 0.125, 0, 0.25
16b.32 0.125, 0.125, 0.125
16a.-3. 0, 0, 0
Międzynarodowe tablice krystalograficzne
pełny symbol
układ
skrócony
krystalografi
symbol
czny
położenie
położenia
elementów
punktów
symetrii
równoważnych
informacje o
współrzędne
refleksach
punktów
dyfrakcyjnych
30