UNIWERSYTET ROLNICZY W KRAKOWIE
WYDZIAA
INŻYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI
KATEDRA ENERGETYKI I AUTOMATYZACJI PROCESÓW ROLNICZYCH
Małgorzata Trojanowska
ROZWI
ZYWANIE ELEKTRYCZNYCH
OBWODÓW PR
DU TRÓJFAZOWEGO
SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Kraków 2014
Zadanie 3.1
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.1a wyznaczyć wskazania
woltomierzy oraz moc czynną, bierną i pozorną układu.
Dane: napiÄ™cie miÄ™dzyfazowe sieci wynosi 400V, R = 100©, XL = 173©.
a)
b) Uf1
Ip1 UR UL If1
L1
V2
R XL
UV2
L1
Up1
V2
R XL
Up3
Ip2 Uf2 If2
L2
L2
XL
R
R XL
V1
Up2 V1 UV1
Uf3
Ip3 If3
L3
L3
R XL
R XL
Rys. 3.1
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania wszystkich prądów i napięć (rys. 3.1b), przy
czym symbolem Up oznaczamy napięcia międzyfazowe, Uf - napięcia fazowe, Ip  prądy
przewodowe, If - prądy fazowe. W każdym symetrycznym układzie trójfazowym wartości skuteczne
napięć i prądów są sobie równe (Up1 = Up2 = Up3, Uf1 = Uf2 = Uf3 , Ip1 = Ip2 = If3, Ip1 = If2 = If3) i
2
przesunięte względem siebie o rad.
Pð
3
Ze schematu (rys. 3.1b) wynika, że woltomierz V1 wskazuje wartość napięcia międzyfazowego sieci
Up2, zatem wskazanie woltomierza V1 UV1 = 400V. Natomiast woltomierz V2 wskazuje wartość
spadku napięcia na cewce indukcyjnej UL. Aby wyznaczyć tę wielkość musimy rozwiązać obwód.
W symetrycznym układzie trójfazowym połączonym w gwiazdę pomiędzy wartościami skutecznymi
napięć i prądów zachodzą związki:
U =ð 3U ,
p f
I =ð I .
p f
U
400
p
StÄ…d U =ð =ð =ð 231V .
f
3 3
Znając napięcie fazowe, po wyznaczeniu impedancji fazowej
2
Z =ð R2 +ð XL =ð 1002 +ð1732 =ð 200Wð ,
f
liczymy prÄ…d fazowy korzystajÄ…c z prawa Ohma:
U
231
f
I =ð =ð =ð 1,15A .
f
Z 200
f
A zatem wskazanie woltomierza V2 UV2 = XLIf = 173"1,15 = 199V.
Wzór na moc czynną układu ma postać:
P =ð 3U I cosjð =ð 3UpI cosjð .
f f p
Współczynnik mocy cosĆ możemy wyznaczyć z trójkąta impedancji fazowej odbiornika:
R 100
cosjð =ð =ð =ð 0,5 .
Z 200
f
A zatem moc czynna układu
2
P =ð 3×ð 231×ð1,15×ð0,5 ð 398W .
Moc bierna układu z kolei wynosi:
Q =ð 3U I sinjð =ð 3U I sinjð,
f f p p
X 173
L
Q =ð 3U I =ð 3 ×ð 400 ×ð1,15×ð ð 689 var .
p p
Z 200
Moc pozorną układu obliczymy z trójkąta mocy:
S =ð P2 +ð Q2 =ð 3982 +ð 6892 ð 796V ×ð A.
Zadanie 3.2
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.2a wyznaczyć wskazanie
amperomierza A2, woltomierzy V1 i V2 oraz moc wydzielanÄ… na rezystancjach.
Dane: R=120Wð, XL=160Wð, wskazanie amperomierza A1 wynosi 3,5A.
b)
a)
Ip1
L1
L1
If1
XL A2
V1
Up1 V1 UV1
Uf1 UV2
Ip2
V2
L2 A1 R R V2
L2 A1 Uf3 XL R
Up3
XL
R
XL Up2
A2
R
Ip3 If3 XL
L3 L3
R XL
Uf2 If2
Rys. 3.2
RozwiÄ…zanie
Zastrzałkujmy wszystkie napięcia i prądy (rys. 3.2b). Ze schematu wynika, że amperomierz A1
wskazuje prąd przewodowy Ip2, a amperomierz A2 natężenie prądu fazowego If3.
W symetrycznym układzie trójfazowym połączonym w trójkąt pomiędzy wartościami skutecznymi
napięć i prądów zachodzą związki:
U =ð U ,
p f
I =ð 3I .
p f
Stąd wartość skuteczna prądu fazowego, a tym samym wskazanie amperomierza A2 wynosi:
I
3,5
p
I =ð =ð =ð 2A.
f
3 3
Woltomierz V1 pokazuje napięcie międzyfazowe Up1, zaś woltomierz V2 wartość napięcia fazowego
Uf1.
Napięcie fazowe możemy wyznaczyć z zależności:
U =ð Z I =ð R2 +ð XL ×ð I =ð 1202 +ð1602 ×ð 2 =ð 400V .
f f f f
Zatem amperomierz A2 wskazuje 2A, woltomierz V1 400V i woltomierz V2 400V.
Moc wydzielana na rezystancjach jest równa mocy czynnej układu:
2
P =ð 3U I cosjð =ð 3U I cosjð =ð 3RI ,
p p f f f
P =ð 3×ð120 ×ð 22 =ð 1440W.
3
Zadanie 3.3
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.3 wyznaczyć impedancję
odbiornika Z, wskazania woltomierzy V1 i V3 oraz moc gromadzonÄ… w cewkach.
Dane: współczynnik mocy ukÅ‚adu cosfð = 0,6, wskazanie amperomierza A wynosi 5,5 A, woltomierza
V2 380 V.
L1 A
R XL
V1
L2
R XL
V2
L3
R XL
V3
Rys. 3.3
Odp.: Z = 40©, wskazanie woltomierza V1 wynosi 176V, V3 219V, moc gromadzona w cewkach
równa mocy biernej układu Q = 2,9kvar.
Zadanie 3.4
W układzie symetrycznym przedstawionym na rys. 3.4 wyznaczyć wskazania wszystkich przyrządów
oraz moc biernÄ… obwodu.
Dane: moc czynna obwodu P = 2880W, napięcie międzyfazowe wynosi 400V, prąd przewodowy 7A.
L1 A
R R
L2
XL XL
V1
V2
L3
R XL
Rys. 3.4
Odp. A = 7A, V1 = 400V, V2 = 320V, Q = 3880var.
Zadanie 3.5
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.5 wyznaczyć wskazania wszystkich
przyrządów.
Dane: R = 240Wð, XL = 180Wð, napiÄ™cie miÄ™dzyfazowe sieci wynosi 415V.
4
a) b)
-Uf1
Uf1 If1 If3=Ip3 Up1
Uf3
Ip1 *
IAW
pð
*
Up3
L1 W
Ć
6
-Uf2
pð
R L
Up1
Uf2 If2
6
Uf1s Ip2 UVW
Ć Uf1
L2
Up3 Ć
Up2 V1 UV1 R Uf3 L If3 If2=Ip2
Uf2s Ip3 If1=Ip1
Uf2 pð
L3 A
6
L
R
UV3
Uf3s V2 UV2
-Uf3 Up2
V3
N
Rys. 3.5
RozwiÄ…zanie
Zastrzałkujmy wszystkie prądy i napięcia (rys. 3.5a). Napięcia fazowe sieci, równe różnicy
potencjałów pomiędzy poszczególnymi przewodami fazowymi a przewodem neutralnym, oznaczono
na schemacie symbolem Ufs i, zgodnie z II prawem Kirchhoffa, są one równe odpowiednim napięciom
fazowym odbiornika Uf. Znając parametry impedancji odbiornika oraz napięcie międzyfazowe Up
wyznaczmy napięcie fazowe Uf odbiornika oraz prądy przewodowe Ip i fazowe If.
U
415
p
U =ð =ð =ð 240V ,
f
3 3
U U
240
f f
I =ð =ð =ð =ð 0,8A =ð I .
f p
2
Z
R2 +ð XL 300
Amperomierz A wskazuje natężenie prądu Ip3 = If3 =0,8A, woltomierz V1 napięcie UV1 = Up2 = 415V,
woltomierz V2 napięcie UV2 = Uf3s = Uf3 = 240V, woltomierz V3 napięcie UV3 = Uf3 =240V.
Wskazanie watomierza jest proporcjonalne do napięcia UVW (napięcie na zaciskach cewki napięciowej
watomierza) prądu IAW (prąd płynący przez cewkę prądową watomierza) oraz cosinusa kąta między
napięciem UVW oraz prądem IAW.
UVW = Up1 = 415V, IAW = Ip1 = 0,8A.
W celu wyznaczenia kąta przesunięcia fazowego narysujmy wykres wektorowy napięć i prądów (rys.
3.5b). Najpierw rysujemy wykres wektorowy napięć fazowych, przy czym długości wektorów jako
2
proporcjonalne do wartości skutecznych i przesunięte względem siebie o kąt rad. W celu
Pð
3
wyznaczenia napięć międzyfazowych odejmujemy geometrycznie odpowiednie napięcia fazowe:
rð rð rð rð rð rð rð rð rð
U =ð U -ðU ,U =ð U -ðU ,U =ð U -ðU .
p1 f 1 f 2 p2 f 2 f 3 p3 f 3 f 1
Następnie rysujemy prądy fazowe opóz
nione w stosunku do napięć fazowych o kąt Ć (opóz
nione, bo
odbiornik o charakterze indukcyjnym), które są równocześnie prądami przewodowymi. Z wykresu
wynika, że kąt pomiędzy napięciem Up1 oraz prądem Ip1 równy jest sumie kąta Ć oraz 30o. Kąt Ć
możemy wyznaczyć z trójkąta impedancji fazowej odbiornika:
R 240
jð =ð arc =ð =ð 36,87o .
Z 300
Zatem wskazanie watomierza:
PW = 415"0,8"cos36,87o = 265,6W.
5
Zadanie 3.6
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.6 wyznaczyć wskazanie
amperomierza A2, woltomierzy V1 i V2, współczynnik mocy cosjð ukÅ‚adu; napiÄ™cie miÄ™dzyfazowe
sieci Up, prąd przewodowy Ip, napięcie fazowe Uf i prąd fazowy If odbiornika; narysować wykres
wektorowy wszystkich prądów i napięć oraz obliczyć wskazanie watomierza W.
Dane: wskazanie amperomierza A1 wynosi 3,5A, R = 120Wð, XL = 160Wð.
*
*
L1 W
XL
V1
R R V2
L2 A1
XL
A2
L3 A1
R XL
Rys. 3.6
Odp.: wskazanie amperomierza A2 wynosi 2A, woltomierza V1 400V, woltomierza V2 400V, cosjð =
0,6, Up = 400V, Ip = 3,5A, Uf = 400V, If = 2A, wskazanie watomierza W równe jest 1,1kW.
Zadanie 3.7
Dwa odbiorniki 3-fazowe o jednakowych impedancjach i jednakowych współczynnikach mocy
włączono do tej samej sieci o symetrycznych napięciach zasilających (rys.3.7). Amperomierz A1
wskazuje 1A. Ile wskażą amperomierze A2 i A3.
A1 A3
Z Z Z
A2
Rys. 3.7
Odp.: amperomierz A2 wskazuje 1,73A, amperomierz A3 3A.
Zadanie 3.8
Trzy oporniki o jednakowych rezystancjach R = 5Wð poÅ‚Ä…czono w gwiazdÄ™ i wÅ‚Ä…czono do symetrycznej
sieci trójfazowej o napięciu międzyfazowym Up = 220V.
Wyznaczyć prądy fazowe odbiornika If i moc układu. Jak zmieni się moc układu jeżeli oporniki
zostaną połączone w trójkąt. Narysować wykres wektorowy prądów i napięć dla obu przypadków.
Odp.: If = 25,4A, odbiornik pobiera tylko moc czynną, która wzrośnie z 9680W do 29040W.
6
Zadanie 3.9
W elektrycznym trójfazowym piecu oporowym zasilanym z symetrycznej sieci o napięciu
miÄ™dzyfazowym Up = 380V, rezystancja każdej z faz wynosi Rf = 38Wð, a fazy poÅ‚Ä…czone sÄ… w trójkÄ…t
(rys. 3.8a).
Wyznaczyć: prądy przewodowe Ip i fazowe If oraz moc pieca P. Jak zmienią się wartości tych
wielkości, gdy nastąpi przerwa w zasilaniu jednej z faz np. L2 (rys. 3.8b).
a) b)
Ip1 Ip1
L1 L1
If 31 If 12 If 31 If 12
Ip2 Ip2
L2
L2
Rf
Rf Rf
Rf
Rf
Rf Ip3
Ip3
L3
L3
If 23
If 23
Rys. 3.8
Odp.: If = 10A, Ip = 17,3A, P = 11,4kW; po otwarciu wyłącznika If31 = 10A, If12 = If23 = 5A, Ip1 = Ip3 =
15A, Ip2 = 0A, P = 5,7kW.
Zadanie 3.10
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.9 wyznaczyć pojemność każdego z
kondensatorów do poprawy współczynnika mocy do wartości cosĆopt = 0,9, w przypadku połączenia
kondensatorów: 1) w gwiazdę, 2) w trójkąt.
Dane: napiÄ™cie miÄ™dzyfazowe sieci wynosi 400V, R = 50©, XL = 50©.
Ip1
L1
If1
Up1
Uf1
Ip2 Uf3 L
R
L2
R
Up2 Up3
L
R
Ip3 If3 L
L3
If2
Uf2
C2
C2
C1 C1 C1
C2
Rys. 3.9
RozwiÄ…zanie
Pojemność jednego kondensatora do poprawy współczynnika mocy (kompensacji mocy biernej
indukcyjnej) w układzie trójfazowym wyznaczamy z zależności:
P
(tgjð -ð tgjðopt)
3
C =ð .
2
2PðfU
7
2
U U
R R
f f
P =ð 3U I cosjð =ð 3U ×ð ×ð cosjð =ð 3 ×ð =ð 4800W ,
f f f
2 2
Z Z
R2 +ð XL R2 +ð XL
f f
1. kondensatory połączone w gwiazdę:
1600 ×ð 0,484
C1 =ð =ð 0,0000462F,
.
314 ×ð 2312
C1 =ð 46,2mðF.
2. kondensatory połączone w trójkąt:
1600 ×ð 0,484
C2 =ð =ð 0,0000154F,
314 ×ð 4002
C2 =ð 15,4mðF.
Zadanie 3.11
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.10 wyznaczyć wartość skuteczną
napięcia międzyfazowego sieci Up, prądu fazowego Ip, napięcia fazowego Uf i prądu fazowego If
odbiornika oraz pojemność C każdego z kondensatorów, przy której współczynnik mocy układu
wzrósłby do 1.
Dane: Z = 86,5Wð, cosjð = 0,6, P = 0,623kW.
L1
Z
L2
Z
L3
Z
C C
C
Rys. 3.10
Odp.: Up = 300V, Ip = 2A, Uf = 173V, If = 2A, C = 9,8mðF.
8