Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe


Zestaw 1.
Funkcja kwadratowa. Funkcja homograficzna.
Równanie liniowe. Układy dwóch równań liniowych.
Przykład 1. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
f (x)= 2(x -1)(x +1)+ 3(x - 2)+ 3.
Rozwiązanie.
Przekształcimy na początek postać wzoru określającego funkcję do postaci trójmianu
kwadratowego, otrzymamy kolejno:
f (x)= 2(x2 -1)+ 3(x - 2)+ 3 = 2x2 - 2 + 3x - 6 + 3 = 2x2 + 3x - 5.
Przypomnijmy, że miejscem zerowym funkcji jest x Df taki, że f (x)= 0 . Należy zatem
rozwiązać w tym przypadku równanie 2x2 + 3x - 5 = 0 .
Policzymy wyróżnik: D = b2 - 4ac = 32 - 42(- 5)= 49 , stąd D = 7 .
Ponieważ wyróżnik jest dodatni badana funkcja posiada dwa miejsca zerowe postaci
- b - D - 3- 7 5 - b + D - 3+ 7
x1 = = = - oraz x2 = = = 1.
2a 4 2 2a 4
Przykład 2. Rozwiązać równanie - x2 + 2 13x -14 = 0
Rozwiązanie.
Skoro jest to trójmian kwadratowy przyrównany do zera, policzymy wyróżnik:
2
D = b2 - 4ac =(2 13) - 4(-1)(-14)= -4 . Ponieważ wyróżnik jest ujemny badane
równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 3. Naszkicować wykres funkcji danej wzorem f (x)= -x2 + 4x + 5.
Rozwiązanie.
- b
Aatwo policzymy, że D = 36 . Wierzchołek paraboli ma zatem współrzędne xw = = 2 i
2a
D
yw = - = 9 . Policzmy jeszcze miejsca zerowe tej funkcji:
4a
- b - D - 4 - 6 - b + D - 4 + 6
x1 = = = 5 oraz x2 = = = -1.
2a - 2 2a - 2
Zauważmy ponadto, że a = -1 < 0 , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu. W efekcie
mamy wykres postaci:
1
9
-1 2 5
Przykład 4. Rozwiązać nierówność - x2 + 4x + 5 ł 0 .
Skorzystamy z wyliczeń przykładu 3. Z wykresu odczytujemy, że x[-1; 5] - dla takich x
wykres leży ponad osią OX i dołączamy punkty wspólne z tą osią.
4 - x
Przykład 5. Przekształcić do postaci kanonicznej wzór funkcji homograficznej y = .
x -1
Zauważmy najpierw, że dziedziną tej funkcji jest R \{1}. Przekształcamy kolejno
- x + 4 -(x -1)+ 3 3
y = = = -1. Oznacza to, że wykres badanej funkcji otrzymamy
x -1 x -1 x -1
3
przesuwając wykres homografii y = o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX i o 1 jednostkę
x
w dół wzdłuż osi OY.
y = 2x + 5

Przykład 6. Rozwiązać układ równań .

x - y = -4
- 2x + y = 5

Uporządkujemy na początek ten układ do postaci .

x - y = -4

2
I SPOSÓB (podstawiania)
- 2x + y = 5

Z drugiego równania wyznaczymy y. Mamy zatem . Podstawiając tak

y = x + 4

- 2x + x + 4 = 5 x = -1

wyznaczony y do pierwszego równania otrzymamy kolejno , stąd

y = x + 4
y = x + 4
x = -1

i w efekcie . Układ ma zatem jedno rozwiązanie punkt A=(-1;3).

y = 3
II SPOSÓB (przeciwnych współczynników)
- 2x + x + y - y = 5 - 4 x = -1

Dodamy oba równania stronami i otrzymamy , stąd .

x - y = -4
y = 3
III SPOSÓB (graficzny)
Popatrzmy jeszcze na interpretację graficzną. Jest to układ równań prostych. Pierwsza z nich
5
przecina oś OX (tzn y = 0 ) w punkcie x = - , druga prosta przecina oś OX w punkcie
2
x = -4 . Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny obu prostych A = (-1; 3)
A
3
Przykład 1a. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
f (x) = 5(x + 3)(x - 7).
Rozwiązanie. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z jego czynników jest równy zero. Ponieważ
funkcja f jest wyrażona jako iloczyn dwóch czynników liniowych, to przyjmuje wartość
zero, gdy x+3=0 lub x-7=0 . Zatem f ma dwa miejsca zerowe x1 = -3 oraz x2 = 7 .
Przykład 2a. Rozwiązać równanie 3x2 + 4x = 0 .
Rozwiązanie. Lewa strona równania jest trójmianem kwadratowym, który możemy rozłożyć
na czynniki liniowe
3x2 + 4x = x(3x + 4).
(Stosujemy tutaj prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania). Podobnie jak w
4
przykładzie 1a otrzymujemy, że równanie ma dwa rozwiązania x1 = 0 oraz x2 = - .
3
Przykład 3a. Rozwiązać nierówność x2 -16 > 0 .
Rozwiązanie. Lewa strona nierówności jest trójmianem kwadratowym. Wykorzystując wzór
skróconego mnożenia ( a2 - b2 = (a + b)(a - b) ) rozkładamy go na czynniki liniowe
x2 -16 = x2 - 42 = (x + 4)(x - 4) .
Zatem trójmian ten ma dwa miejsca zerowe x1 = -4 oraz x2 = 4 . Ponieważ współczynnik
stojący przy x2 jest równy 1 , czyli jest dodatni, to wykresem funkcji f (x) = x2 -16 jest
parabola, której ramiona są skierowane do góry. Stąd wynika, że rozwiązaniem nierówności
są wszystkie liczby x (- Ą,-4) (4,+Ą) .
4
Zadanie 1.1. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
a) f (x) = x2 - 5x - 6 e) f (x) = x2 - 3
b) f (x) = 3(x - 2)(x + 6)
f) f (x) = 2x2 - 22x
c) f (x) = x(x + 3)+1- 3(x + x2)
g) f (x) = 3x2 - 48
2
d) f (x) = (3x + 2) - 4(1 - 7x) h) f (x) = x2 + x +1.
Zadanie 1.2. Rozwiązać równanie
2
2 - 3(n -1)
a) (2x) = 2
f) n = -39
2
x2 - 3 3
2
b) =
g) 2x - (x - 4) = x + 2
3 x2 - 3
h) x(x -10) = -25
c) 4x(x - 0,25) = x2
2 + 4(n -1)
d) a2 - 27a = 0
i) n = 45
2
e) b2 - 2 5b + 5 = 0
Zadanie 1.3. Wyznaczyć wierzchołek, miejsca przecięcia z osią OX (o ile istnieją) i
naszkicować parabolę daną równaniem
a) y = x2 - 6x + 7 e) y = 3x2 + 2x +1
b) y = -4x2 + 6x - 3 f) y = x2 - 4x - 5
c) y = x2 - 2x + 5 g) y = -2x2 - 4x -1
d) y = -x2 + 3x - 2 h) y = x2 + 4x - 7 .
Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność
a) x2 - 6x + 7 > 0 e) x2 - 25 < 0
f) 2x(x +1)- x < 1
b) - 4x2 + 6x - 3 ł 0
c) x2 - 2x + 5 < 0 g) 5x(x +1)+ 3 > x(2x + 5)
d) - x2 + 3x - 2 Ł 0
1
Zadanie 1.5. Naszkicować wykres funkcji y = . Przekształcając go, naszkicować wykres
x
funkcji danej wzorem
-1 1
a) f (x) = c) f (x) =
x x +1
1 -1
b) f (x) = d) f (x) =
x -1 x -1
5
1 1
e) f (x) = +1 g) f (x) = -1.
x -1 x -1
-1
f) f (x) = +1
x +1
Zadanie 1.6. Zapisać wzór danej funkcji homograficznej w postaci kanonicznej, a następnie
naszkicować jej wykres
x - 6 - x - 2
a) y = e) y =
x x - 2
2x + 7 5
b) y = f) y =
2x + 6 x - 3
x +1 x +1
c) y = g) y = .
x - 2 2 - x
- 2x
d) y =
x - 3
Zadanie 1.7. Rozwiązać równanie
a) 7(x - 4)+ 2x - 8 = 0
x + 3 4 - x 1 x + 5
b) - = -
4 9 2 36
20y - (10 - 3y) 26y - 51 2(1- 3y)
c) y - = -
156 52 13
1 2 3
d) - =
2 2
1- x2
(1- x) (1+ x)
1 4 - x
e) 2 + = .
x - 3 x - 3
Zadanie 1.8. Stosując metodę podstawiania rozwiązać układ równań
5x + y = 7 4(x - 2)- (y - 2) = 1

a) c)
10x - 2y = 18
- x + 3y = 3
4x - 3y = 5 2x - 4(y +1) = 10

b) d)
7x + y = 5 2 + 3)- y) = 9
(x (1-

Zadanie 1.9 Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układ równań
2x - 3y = 4 4x - 3y = -1

a) c)
5x + 2y = 4,5
x + 2y = 7
5x - y = 1,5 4x - 5y = 5

b) d)
3x + 6y = 4,2 6x - 7y = 9

6
Zadanie 1.10. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań
x + 2y = 0

a)
3x + 5y = -1

3x + y = 11

b)
2,2 - 0,6x = 0,2y

2y = 3 -1,5x


c)
3 1
4 x + y =
2
2x + y = -1

d)
3y - x = -17

3(2x - y)+ 6(y -1) = 3

e)
2x + y = 3

3(x + y)- 2(y + 3) = y + 3(x - 2)

f)

x - 2y = 5
x + 2y = 5

g)
2x + 4(y - 2) = 0

5x - y = 7

h)
2 +1) = 2y
(x

7
Odpowiedzi
Zadanie 1.1.
a) x = -1 x = 6
e) x = 3 x = - 3
b) x = 2 x = -6
f) x = 0 x =11
2 2 g) x = -4 x = 4
c) x = x = -
2 2
h) brak miejsc zerowych.
40
d) x = 0 x = -
9
Zadanie 1.2.
e) b = 5
2 2
a) x = x = -
2 2
13
f) n = 6 n = -
3
b) x = 0 x = 6 x = - 6
g) x = 6 x = 3
1
c) x = 0 x =
3
h) x = 5
i) n = -4,5 n = 5
d) a = 0 a = 27
Zadanie 1.3.
W = (3;-2) W = (2;-9)
f)
a)
x1 = -1, x2 = 5
x1 = 3 - 2, x2 = 3 + 2
W = (-1;1)
3 3
ć
b) W = ;- , brak miejsc zerowych

g)
4 4
Ł ł 2 2
x1 = -1- , x2 = -1+
2 2
c) W = (1; 4), brak miejsc zerowych
W = (- 2;-11)
3 1
ć
h)
W = ;

x1 = -2 - 11, x2 = -2 + 11
d) 2 4
Ł ł
x1 = 2, x2 =1
1 2
ć
e) W = - ;- , brak miejsc zerowych

3 3
Ł ł
Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność
c) x Ć
a) x(- Ą; 3 - 2)(3 + 2; + Ą)
d) x(- Ą;1][2; + Ą)
b) x Ć
8
g)
x R
e) x(- 5; 5)
1

f) xć-1;

2
Ł ł
Zadanie 1.6
- 6 - 4
a) y = +1 e) y = -1
x x - 2
1 5
f) y =
2 x - 3
b) y = +1
x + 3
- 3
g) y = -1
3
x - 2
c) y = +1
x - 2
- 6
d) y = - 2
x - 3
Zadanie 1.7
a) 1
x = 4
d) x =
2
1
b) x =
7 e) brak rozwiązań
c) y =11
Zadanie 1.8
9
x =
x = 2


8
a)
c)


y =1
y =11
8
x = 3

x = 0,8

d)

b)

y = -2
y = -0,6
Zadanie 1.9
x = 0,5
29

c)

x =

7
y =1
a)

y = 10
x = 5


7
d)

y = 3
x = 0,4

b)

y = 0,5
9
Zadanie 1.10
x = -2 x R

a) e)

y =1 y = -2x + 3
x R x = 2y + 5

b) f)

y = -3x +11 y R
c) układ sprzeczny g) układ sprzeczny
x = 2 x = 2

d) h)

y = -5 y = 3
10


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw4 funkcja kwadratowa wielomiany równania
Zestaw 2 Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna
2 Dyskretne układy regulacji, rozdział 3 i 4 Funkcje dyskretne Równania różnicoweid497
17 Zestawienie funkcji programu Excel
Zestaw układy równań liniowych(1)
uklady rownan liniowych
4 uklady rownan liniowych
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
wykład 11 układy równań liniowych
01 oprac geometria równań liniowych
Równania liniowe rzędu pierwszego
Wykład 16 Równania liniowe

więcej podobnych podstron