Ruch harmoniczny Ruchem harmonicznym jest taki ruch okresowy, w którym położenie ciała zmienia się w funkcji czasu sinusoidalnie. Ruch harmoniczny możemy analizować w oparciu o ruch po okręgu.
Wyobraźmy sobie ciało o masie m zawieszone na sprężynie, poruszające się ruchem harmonicznym.
Z ruchu po okręgu wiemy, że
Otrzymujemy wzór na wychylenie
Prędkość w ruchu harmonicznym
Prędkość w ruchu harmonicznym możemy obliczyć z wzoru
Z ruchu po okręgu możemy postawić zależność
Otrzymujemy
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym
Z ruchu po okręgu możemy wpisać zależność
Po wstawieniu
Wstawiając wzór na wychylenie x otrzymujemy
Siła w ruchu harmonicznym
Na sprężynie o stałej k zawieszone jest ciało o masie m, które wykonuje drgania harmoniczne.
Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do wychylenia, przy czym współczynnikiem proporcjonalności jest stała sprężyny k.
Znak “-" wystÄ™puje dlatego, że siÅ‚a sprężystoÅ›ci ma zawsze przeciwny zwrot do wychylenia.
Wstawiając wzór na przyspieszenie otrzymujemy
Po uproszczeniu i przekształceniu wzoru otrzymujemy wzór na prędkość kątową.
Wstawiając znany z ruchu po okręgu wzór na prędkość kątową
Możemy podać wzór na okres oscylatora harmonicznego
Wahadło matematyczne Wahadłem matematycznym nazywamy niewielką ciężką kulkę zawieszoną na długiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici.
Qł=Q sin Qł = Fs = -k x = m g sin Gdzie sin kąta możemy obliczyć z wzoru
Upraszczając i przekształcając wzór, możemy obliczyć prędkość kątową
Wstawiając znany z ruchu po okręgu wzór na prędkość kątową
Możemy podać wzór na okres drgań wahadła matematycznego
Okres drgań harmonicznych wahadła nie zależy ani od masy wahadła, ani od jego amplitudy. Energia w ruchu harmonicznym Energia całkowita w ruchu harmonicznym składa się z energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości. Energia kinetyczna to wzór znany z mechaniki
Energia potencjalna sprężystości jest równa pracy, jaką wykonuje siła sprężystości, aby wychylić ciało z położenia równowagi.
Wstawiając wzór na siłę sprężystości (- oznacza tylko inny zwrot siły niż wychylenia) otrzymujemy wzór na energię potencjalną sprężystości.
Obliczmy energię całkowitą
Podstawiamy za x i za V wzory znane z ruch harmonicznego
Z wzorów na oscylator harmoniczny wiemy
Po wyciągnięciu przed nawias otrzymujemy
Po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej otrzymujemy wzór na energię całkowitą ruchu harmonicznego.
Widać więc, że dla danego oscylatora harmonicznego całkowita energia układu pozostaje stała.