172
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 2-8. Trzy kondensatory o tej samej wartoÅ›ci pojemnoÅ›ci C1 = C2 = C3 = 1 µF, naÅ‚adowane do
różnych wartości napięcia U1 = 10 V, U2 = 15 V, U3 = 20 V, połączono w sposób pokazany na ry-
sunku liniami przerywanymi, gdzie są oznaczone napięcia i ładunki, jakie występują przed zespole-
niem elementów. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach połączonych we wskazany sposób
(szukane wielkości są oznaczone na rysunku z liniami ciągłymi).
C1 C2 C3
+Q1  Q1  Q2 +Q2 +Q3  Q3
U1 U2 U3
C1 C2 C3
+Q 2  Q 2
+Q 1  Q 1 +Q 3  Q 3
U  1 U  2 U  3
Q1 = C1 Å"U1 = 10 µC, Q2 = C2 Å"U = 15 µC, Q3 = C3 Å"U3 = 20 µC.
2
A. Rozwiązanie metodą superpozycji i układów zastępczych
Każdy z ładunków zgromadzonych na kondensatorach traktuje się jako oddzielne wymuszenie.
Wyznacza się więc i dodaje napięcia na kondensatorach, wywołane z osobna istnieniem ładunków
na każdym z kondensatorów.
(1) C1 C2 C3
+Q1  Q1
U1
C23
C1 C2 C3
+Q 1(1)  Q 1(1)  Q 2(1) +Q 2(1)  Q 3(1) +Q 3(1)
U  1(1) U  2(1) U  3(1)
C23 = 0,5µF (poÅ‚Ä…czenie szeregowe C2 i C3),
Cz(1) = 1,5 µF (poÅ‚Ä…czenie równolegÅ‚e C1 i C23 ; odpowiednie znaki Å‚adunków),
Q1 20 20
U '1(1) = = V, Q'1(1) = C1 Å"U '1(1) = µC,
Cz(1) 3 3
10 10
Q'2(1) = Q'3(1) = Q1 - Q'1(1) = µC albo Q'2(1) = Q'3(1) = C23 Å"U '1(1) = µC,
3 3
- Q'2(1) 10 - Q'3(1) 10
U '2(1) = = - V, U '3(1) = = - V.
C2 3 C3 3
173
Zadania
(2)
C1 C2 C3
 Q2 +Q2
U2
C1 C2 C3
+Q 1(2)  Q 1(2)  Q 2(2) +Q 2(2)
+Q 3(2)  Q 3(2)
U  1(2) U  2(2) U  3(2)
C13 = 0,5 µF (poÅ‚Ä…czenie szeregowe C1 i C3),
Cz(2) = 1,5 µF (poÅ‚Ä…czenie równolegÅ‚e C2 i C13 ; odpowiednie znaki Å‚adunków),
- Q2
U '2(2) = = -10 V, Q'2(2) = C2 Å"U '2(2) = 10 µC,
Cz(2)
Q'1(2) = Q'3(2) = Q2 - Q'2(2) = 5µC albo Q'1(2) = Q'3(2) = C13 Å"U '2(2) = 5 µC,
Q'1(2) Q'3(2)
U '1(2) = = 5V, U '3(2) = = 5 V.
C1 C3
(3)
C1 C2 C3
+Q3  Q3
U3
C12
C1 C2 C3
 Q 1(3) +Q 1(3)  Q 2(3) +Q 2(3)
+Q 3(3)  Q 3(3)
U  1(3) U  2(3) U  3(3)
C12 = 0,5 µF (poÅ‚Ä…czenie szeregowe C1 i C2),
Cz(3) = 1,5 µF (poÅ‚Ä…czenie równolegÅ‚e C3 i C12 ; odpowiednie znaki Å‚adunków),
Q3 40 40
U '3(3) = = V, Q'3(3) = C3 Å"U '3(3) = µC,
Cz(3) 3 3
20 20
Q'1(3) = Q'2(3) = Q3 - Q'3(3) = µC albo Q'1(3) = Q'2(3) = C12 Å"U '3(3) = µC,
3 3
- Q'1(3) 20 - Q'2(3) 20
U '1(3) = = - V, U '2(3) = = - V.
C1 3 C2 3
Napięcia wypadkowe: U '1 = U '1(1) +U '1(2) +U '1(3) = 5V, U '2 = U '2(1) +U '2(2) +U '2(3) = -20 V,
U '3 = U '3(1) +U '3(2) +U '3(3) = 15 V.
174
Elektrotechnika podstawowa
B. Rozwiązanie metodą równań układu
C1 C2 C3
+Q1  Q1  Q2 +Q2 +Q3  Q3
(Q2 + Q3)
( Q1  Q2)
U1 U2 U3
(Q1  Q3)
C1 C2 C3
+Q 2  Q 2
+Q 1  Q 1 +Q 3  Q 3
( Q1  Q2) (Q2 + Q3)
U  1 U  2 U  3
(Q1  Q3)
Q1 = C1 Å"U1 = 10 µC, Q2 = C2 Å"U = 15 µC, Q3 = C3 Å"U3 = 20 µC.
2
Równanie napięciowe: U '1+U '2 +U '3 = 0 .
Równania stałości ładunków: - Q'1+Q'2 = -Q1 - Q2 ; - Q'2 +Q'3 = Q2 + Q3 ;
Q'1-Q'3 = Q1 - Q3 (jedno równanie jest liniowo zależne od pozostałych).
Równania układu (pominięto trzecie równanie stałości ładunków jako zależne od pozostałych):
U '1+U '2 +U '3 = 0 U '1+U '2 +U '3 = 0
Q'1-Q'2 = Q1 + Q2 Ò! C1 Å"U '1-C2 Å"U '2 = Q1 + Q2
- Q'2 +Q'3 = Q2 + Q3 - C2 Å"U '2 +C3 Å"U '3 = Q2 + Q3
Równanie układu w postaci liczbowej i jego rozwiązanie metodą Cramera:
1 1 1 U '1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ 1 -1 0 śł ïÅ‚U '2 śł ïÅ‚ 25śł
Å" = , W = -3, W1 = -15 , W2 = 60 , W3 = -45 ;
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚ 0 -1 1 śł ïÅ‚ '3 śł ïÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚U ûÅ‚ ðÅ‚ 35śł
U '1 = 5 V, U '2 = -20 V, U '3 = 15 V.
Zad. 2-9. Dwa kondensatory o pojemnoÅ›ciach: C1 = 1 µF i C2 = 2 µF, naÅ‚adowano do napiÄ™cia
U = 12 V ze z
ródła, które zostało następnie przyłączone między ujemnie naładowane okładziny w
sposób pokazany na rysunku. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach w tym układzie.
a) C1 C1 A. Rozwiązanie metodą równań układu:
+Q1  Q1 +Q 1  Q 1
-U1 + U = U ,
2
U1
C2 Q'1 +Q'2 = Q1 + Q2
+Q2  Q2 U
oraz Q1 = C1 Å"U , Q2 = C2 Å"U ,
U2
U
więc
+Q 2  Q 2
-U1 + U = U ,
C2 2
C1 Å"U1 + C2 Å"U = (C1 + C2 ) Å"U .
2
îÅ‚-1 1 U1 12
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å" = , W = -3, W1 = -12 , W2 = -48 ; U1 = 4 V, U = 16 V.
2
ïÅ‚ 1 2 śł ïÅ‚U śł ïÅ‚ 36 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
175
Zadania
B. Inny sposób rozwiązania  z zasady superpozycji:
1 µF
1 µF 1 µF
12 V 8 V 4 V
12 V 12 V
+ =
12 V 4 V 16 V
2 µF 2 µF
2 µF
(wstępne naładowanie) (bez wstępnego naładowania) (wynik końcowy)
b) C1 C1 A. Rozwiązanie metodą równań układu:
+Q1  Q1 +Q 1  Q 1
U1 -U = U ,
2
U1 Q'1+Q'2 = Q1 + Q2
C2
+Q2  Q2 U
oraz Q1 = C1 Å"U , Q2 = C2 Å"U ,
U2
więc
U
+Q 2  Q 2 U1 -U = U ,
2
C2
C1 Å"U1 + C2 Å"U = (C1 + C2 ) Å"U .
2
1 -1 U1 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å" = , W = 3, W1 = 60 , W2 = 24 ; U1 = 20 V, U = 8 V.
2
ïÅ‚ 1 2 śł ïÅ‚U śł ïÅ‚ 36 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
B. Inny sposób rozwiązania  z zasady superpozycji:
1 µF
1 µF 1 µF
12 V 8 V 20 V
12 V 12 V
+ =
12 V 4 V 8 V
2 µF 2 µF
2 µF
(wstępne naładowanie) (bez wstępnego naładowania) (wynik końcowy)
Zad. 2-10. Po naładowaniu kondensatorów C1 i C2 w układzie szeregowym ze z
ródłem U, odłączo-
no C1 i dołączono z powrotem przeciwnymi okładzinami. Oblicz wartości napięcia na kondensato-
rach przed tÄ… operacjÄ… i po niej. Dane: C1 = 1µF, C2 = 2 µF, U = 9 V.
A. Rozwiązanie metodą równań układu:
a) stan przed przełączeniem C1
C1 Å" C2 2
C1 C2
C = = µF, Q = C Å"U = 6 µC,
+Q  Q +Q  Q
C1 + C2 3
(0)
Q Q
U  1 U  2 U '1 = = 6 V, U '2 = = 3 V;
U C1 C2
inaczej: U '1+U '2 = U , - C1 Å"U '1+C2 Å"U '2 = 0 ,
1 1 U '1 9
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å" = , W = 3, W1 = 18 , W2 = 9 ; U '1 = 6 V, U '2 = 3V.
ïÅ‚-1 2 śł ïÅ‚U '2 śł ïÅ‚ 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚