Zadania z Matematyki Dyskretnej - Funkcje
1. Niech A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Które z poniższych relacji są
funkcjami ?
(a) R1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}
(b) R2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 5), (4, 5), (1, 5)}
(c) R3 = {(1, 4), (2, 4), (4, 5), (3, 4)}
(d) R4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 4)}
2. Czy dana funkcja jest różnowartościowa, na , znalez
ć obrazy i przeciw
obrazy.
(a) f : R R f(x) = x2 - 3x + 2
f((0, 1)), f([-2, 1]), f({1, 2}), f�!((-", -6)), f�!({-3, -4}).
(b) f : R R f(x) = sin x + 1
3 Ą Ą
f([0, Ą]), f({0, Ą}), f({Ą , , }), f�!((1, ")), f�!((-", -1]), f�!(0).
2 2 4 6 2
n
(c) Ć : Rn R, Ć([x1, .., xn]) = x2
k=1 k
�!(-1), �!(0), �!(1).
(d) Ć : N2 N, Ć(n, k) = n + k + 1.
Ć(N � {1}), Ć�!(0), Ć�!(5).
(e) Ć : N2 N, Ć(n, k) = nk.
Ć(N � {2}), Ć�!(0), Ć�!({2n : n " N}).
(f) Ć : N2 N, Ć(n, k) = n2 + k2.
�!(0), �!(24).
(g) Ć : N2 N, Ć(n, k) = max(n, k).
�!(0), �!(k).
(h) f : R R+ f(x) = |x2 - 5x + 6|.
f((2, ")), f({0, 1, 2, 3, 4}), f�!([0.5, 1]), f�!((0, 1)), f�!({0}).
3. Udowodnić.
(a) A �" B �! f(A) �" f(B)
(b) A �" f�!(f(A))
4. Pokazać kontrprzykłady, ze inkluzji nie można zastąpić równościami.
(a) f(A) )" f(B) �" f(A )" B)
(b) f(A) \ f(B) �" f(A \ B)
(c) f�!(A) �" f�!(B) jeśli A �" B
5. Zlożyć funkcje f, g i h w różnej kolejności. Sprawdzić dziedzinę.
"
(a) f(x) = sin x, g(x) = x, h(x) = x2
1
(b) f(x) = cos x, g(x) = log x, h(x) =
x
8! 9! 12! 8! 4!
6. Obliczyć (a) (b) (c) (d) (e)
Ł
6! 5! 1!2!3!4! 2!0!
5!4!
100 4 4 10
(f) (-1)ii (g) (i2 + 1) (h) (i2) + 1 (i) (-1)i
i=1 i=1 i=1 i=1
7. Napisać wzór ogólny
n
(a) 2i
i=0
n k+2
(b)
k=1
k
m
(c) k
k=n
1
8. Dla jakiego zbioru funkcja b(n) = (1+(-1)n) jest funkcją charakterystyczną?
2
9. Napisz wzór ogólny ciągów an, bn, cn jeśli
an
(a) an = an-1n, bn = an + an-1, cn = a0 = 1
bn
(b) an = a2 , bn = an : an-1, cn = an + bn a0 = 2
n-1
n 1 n 1
10. Obliczyć (a) (xi + )2 (b) (xi - )2
i=1 i=1
xi xi
11. Dany jest ciąg (a+b)2, a2+b2, (a-b)2, ... obliczyć sumę n początkowych
wyrazów tego ciągu.