Zakres zagadnień
Algebra z geometrią
1 Współrzędne i składowe wektora  powtórka
Rzutowanie oraz problem najmniejszych kwadratów
2 Pojęcie rzutowania
3 Cztery przestrzenie macierzy  powtórka
4 Zmiana bazy RGB YUV  powtórka
Adam Dąbrowski
5 Koncepcja rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń
6 Przykład rzutowania  zmiana obrazu kolorowego na obraz w skali
Politechnika Poznańska
Wydział Informatyki szarości
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
7 Macierz rzutująca
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
8 Rzutowanie obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji
9 Ogólne ujęcie rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń
15 grudnia 2012
10 Iloczyn skalarny wektorów  ujęcie dla zaawansowanych
11 Ortogonalność wektorów i podprzestrzeni
12 Rzut prostokątny wektora na wektor
13 Rzut prostokątny przestrzeni na podprzestrzeń
14 Rozwiązywanie równania Ax = b, które nie ma rozwiązań
15 Regresja i metoda najmniejszych kwadratów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 1 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 2 / 88
Współrzędne i składowe wektora Rzutowanie na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze bazy
Rzutowanie wektora f na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze wektorów
domyślnej bazy, np. na płaszczyznę x, y polega na utworzeniu wektora
rzutu fxy, który ma współrzędną z równą zeru, przy czym współrzędne x, y
pozostają bez zmian. To rzutowanie realizuje macierz rzutująca P, której
główna przekątna odzwierciedla dokonany wybór wektorów domyślnej bazy
Ą# ń#
1 0 0
ó#
fxy = Pf = 0 1 0Ą# f
Ł# Ś#
0 0 0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 3 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 4 / 88
Rzutowanie na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze bazy Rzutowanie na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze bazy
W rozpatrywanym przypadku macierz rzutująca jest  ułomną macierzą
jednostkową, której główna przekątna zawiera elementy równe 1 na
pozycjach odpowiadających wektorom bazy tworzącym podprzestrzeń, na
którą rzutujemy. Pozostałe elementy bazy, którym na głównej przekątnej
macierzy rzutujacej P odpowiadaja elementy równe 0, rozpinają
podprzestrzeń rzutującą, która określa  wielowymiarowy kierunek
rzutowania. Na przykład w przypadku macierzy
Uwaga
Ą# ń#
1 0 0
Fundamentalną własnością każdej macierzy rzutującej jest warunek
ó#
P = 0 1 0Ą#
Ł# Ś#
0 0 0
P2 = P .
rzutuje się na płaszczyznę poziomą x, y w kierunku pionowym osi z.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 5 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 6 / 88
Cztery przestrzenie macierzy, y = Ax  powtórka Cztery przestrzenie macierzy kwadratowej, y = Ax
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 7 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 8 / 88
Podstawowa własność macierzy rzutującej: P2 = P Przykład zmiany bazy  transformacja RGB YUV
Kolor f jest wektorem w przestrzeni 3-wymiarowej np. RGB. Ma on
współrzędne r, g, b wbazie r, g, b (czerwony, zielony, niebieski). Na
przykład kolor  maksymalnie błękitny (cyjanowy) to wektor
Ą# ń#
0
ó#
c = 1Ą#
Ł# Ś#
1
Ten sam kolor można przedstawić w innej często stosowanej bazie y, u, v
(luminancja i dwie chrominancje, czyli w przestrzeni YUV) za pomocą
współrzędnych y, u, v, przy czym
y = 0.3r + 0.6g + 0.1b
u = b - y = -0.3r - 0.6g + 0.9b
v = r - y = 0.7r - 0.6g - 0.1b
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 9 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 10 / 88
Przykład zmiany bazy  transformacja RGB YUV Przykład zmiany bazy  transformacja RGB YUV
Macierz przekształcenia RGB YUV to
Ą# ń#
0.3 0.6 0.1
Obliczając macierz odwrotną do macierzy T przekształcenia
ó# Ą#
T = -0.6 0.9 Ś#
Ł#-0.3
Ą# ń#
0.7 -0.6 -0.1 1 0 1
ó#
T-1 = 1 -1 -0.5Ą#
Ł# Ś#
6
a wektory starej bazy w nowej bazie wyrażają się wzorem
1 1 0
r = 0.3y - 0.3u + 0.7v
można określić wektory nowej bazy w starej bazie
g = 0.6y - 0.6u - 0.6v
y = r + g + b
b = 0.1y + 0.9u - 0.1v
u = -0.1667g + b
Stąd kolor maksymalnie błękitny w nowej bazie to wektor
Ą# ń#
v = r - 0.5g
0.7
ó# Ą#
c = 0.3 ponieważ c = g + b = 0.7y + 0.3u - 0.7v
Ł# Ś#
-0.7
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 11 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 12 / 88
Przykład zmiany bazy  transformacja RGB YUV Przykład zmiany bazy  transformacja RGB YUV
Reasumując
Ą# ń# Ą# ń#
y r
ó# ó#
uĄ# = T gĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
v b

r g b = y u v T
oraz
Ą# ń# Ą# ń#
r y
ó# ó#
gĄ# = T-1 uĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
b v

Wektory nowej bazy wyrażone w starej bazie mają postać
y u v = r g b T-1
y = r + g + b
przy czym
Ą# ń# Ą# ń#
0.3 0.6 0.1 1 0 1
u = -0.1667g + b
ó# Ą# ó#
T = -0.6 0.9 oraz T-1 = 1 -1 -0.5Ą#
Ł#-0.3 Ś# Ł# Ś#
6
v = r - 0.5g
0.7 -0.6 -0.1 1 1 0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 13 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 14 / 88
Ilustracja transformacji RGB YUV Koncepcja rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń
Obraz oryginalny (każdy piksel to wektor trójwymiarowy)
Badając zjawiska w przyrodzie, które z reguły są skomplikowane, staramy
się znalez
ć adekwatny model matematyczny, który jest możliwie prosty
i jednocześnie zawiera istotę zjawiska. Na przykład
działanie transformatora upraszczamy do jednego parametru, tzw.
przekładni Ń, wówczas
u2 = Ńu1
Składowe RGB (pikseli) obrazu
i2 = Ń-1i1
działanie tranzystora (bipolarnego) upraszczamy do jednego
parametru, tzw. wzmocnienia prądowego � w układzie wspólnego
emitera
Składowe YUV (pikseli)obrazu
iC = �iB
skomplikowany proces pojawiania się dzieci na świecie kojarzymy
z wiosną i przylotem bocianów, a zatem upraszczamy go do jednego
parametru i twierdzimy, że  bociany przynoszą dzieci (uwaga: model
może odnosić się do pozornej istoty zjawiska, a więc może być błędny)
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 15 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 16 / 88
Koncepcja rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń Zmiana obrazu kolorowego na obraz w skali szarości
Rzutowanie jako upraszczanie
Upraszczanie modelu zjawiska jest w istocie rzutowaniem wielowymiarowej
przestrzeni (wieloparametrowego opisu tego zjawiska) na jej podprzestrzeń
o mniejszej liczbie wymiarów. W ten sposób powstaje prostszy model
o mniejszej liczbie parametrów.
Jednym z ważnych problemów przetwarznia obrazów jest przekształcenie
Uwaga
obrazu kolorowego w najlepszy odpowiednik wyrażony w skali szarości.
Problem polega więc na zmianie w pierwotnym obrazie kolorowym każdego
Prostszy a jednocześnie dokładniejszy (albo co najmniej tak samo
piksela opisanego pewnym kolorem, np. wektorem
dokładny) model jest bliższy prawdy. Na przykład: błędny, skomplikowany
model świata Ptolemeusza i prawdziwy, prosty model Kopernika.
f = r � r + g � g + b � b
wwektor skali szarości fy = y � y , leżący w punkcie o luminancji
Informacja
y = 0.3r + 0.6g + 0.1b na osi luminancji określonej za pomocą wektora
Problem rzutowania omówimy na przykładzie zamiany obrazu kolorowego
jednostkowego
na jego odpowiednik w skali szarości.
y = r + g + b .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 17 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 18 / 88
Zmiana obrazu kolorowego na obraz w skali szarości Zmiana obrazu kolorowego na obraz w skali szarości


Zakładając, że wektory r, g, b tworzą domyślną bazę (tzw. bazę RGB),
Wstawiając równość rozważane wektory można zapisać w zwartej postaci jako
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
y = r + g + b
r y 0.3r + 0.6g + 0.1b
ó# ó# ó#
do zależności
f = gĄ# i fy = yĄ# = 0.3r + 0.6g + 0.1bĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
fy =(0.3r + 0.6g + 0.1b)y
b y 0.3r + 0.6g + 0.1b
otrzymujemy
Zauważmy, że wszystkie wektory leżące na płaszczyz
nie
fy =(0.3r + 0.6g + 0.1b)r +(0.3r + 0.6g + 0.1b)g +(0.3r + 0.6g + 0.1b)b .
0.3r + 0.6g + 0.1b = y
są przekształcane w jeden wektor fy = y � y leżący na prostej Y o bazie y.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 19 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 20 / 88
Rzutowanie punktów przestrzeni trójwymiarowej na prostą Rzutowanie punktów przestrzeni trójwymiarowej na prostą
Na przykład punkty1

Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
Rozważany proces przekształcania np. wektora
1 10/3 0 0
ó# ó# Ą# ó# ó# Ą# Ą# ń# Ą# ń#
f1 = 1Ą# , f2 = 0 , f3 = 10/6Ą# , f4 = 0
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
ro r
ó# ó#
1 0 0 10
fo = goĄ# , a właściwie wszystkich wektorów f = gĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
bo b
leżące na płaszczyz
nie 0.3r + 0.6g + 0.1b = 1 rzutującej je na prostą Y ,
są przekształcane (rzutowane) w punkt
płaszczyzny rzutującej 0.3r + 0.6g + 0.1b = yo = 0.3ro + 0.6go + 0.1bo,
Ą# ń#
w jeden punkt
1
ó# Ą# ń# Ą# ń#
fy = 1Ą# tej prostej.
Ł# Ś#
1 1
jest rzutowaniem punktów przestrzeni na tę prostą
1
yoó#1Ą# prostej yó#1Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
za pomocą płaszczyzny rzutującej 0.3r +0.6g +0.1b =yo
1
Punkty f2, f3 i f4 leżą poza jednostkową kostką RGB, a więc nie reprezentują 1 1
żadnych kolorów, punkt f1 = fy reprezentuje kolor biały.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 21 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 22 / 88
Rzutowanie punktów przestrzeni trójwymiarowej na prostą Przestrzeń kolumnowa i zerowa macierzy rzutującej


Ą# ń#
Rozważany proces rzutowania
0.3 0.6 0.1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
W rozważanym przykładzie macierz rzutująca Py = 0.3 0.6 0.1Ą# .
r 0.3r + 0.6g + 0.1b Ł# Ś#
ó# ó#
0.3 0.6 0.1
f = gĄ# fy = 0.3r + 0.6g + 0.1bĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ą# ń#
b 0.3r + 0.6g + 0.1b
1
ó#
Jej przestrzeń kolumnowa C(Py) to prosta y 1Ą# na którą rzutujemy,
Ł# Ś#
można opisać wzorem fy = Pyf , w którym występuje macierz rzutująca
1
(tzw. projektor) Py, przy czym w rozważanym przypadku
a jej przestrzeń zerowa N (Py) to płaszczyzna  rzutująca
Ą# ń#
0.3 0.6 0.1
ó#
0.3r + 0.6g + 0.1b = 0
Py = 0.3 0.6 0.1Ą# .
Ł# Ś#
0.3 0.6 0.1
za pomocą której (i płaszczyzn do niej równoległych) rzutujemy.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 23 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 24 / 88
Rola macierzy rzutującej Podstawowe własności macierzy rzutującej: P2 = P
W rozważanym przykładzie macierz rzutująca jest opisana wzorem
Ą# ń#
0.3 0.6 0.1
ó#
P = Py = 0.3 0.6 0.1Ą# .
Ł# Ś#
0.3 0.6 0.1

Po pierwsze, macierz P jest kwadratowa, bo przekształca przestrzeń
Za pomocą wzoru
wejściową w samą siebie (opuszczamy indeks y w nazwie macierzy)
fy = Pyf
Po drugie, jeśli wektor fy jest rzutem wektora f, czyli fy = Pf, to
rzutem wektora fy jest on sam, a zatem
macierz rzutująca Py zmienia dowolny wektor f przestrzeni w jego
rzut fy należący do podprzestrzeni kolumnowej C(Py) tej macierzy.
fy = Pfy = P2f
Rzutem całej przestrzeni zerowej N (Py) tej macierzy jest wektor
zerowy 0, przestrzeń N (Py) nazywamy przestrzenią rzutującą. i stąd
P2 = P .
Wektor fy jest rzutem pewnej  równiny równoległej do przestrzeni
zerowej N (Py), tj. przestrzeni zerowej N (Py) przesuniętej
To jest podstawowa własność, po której poznajemy, że macierz P jest
o rozwiązanie szczególne równania Pyf = fy
macierzą rzutującą (jest projektorem).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 25 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 26 / 88
Podstawowa własność rzutowania: P2 = Py Podstawowa własność macierzy rzutującej: P2 = P
y

fy = Pyf

fy = Pyfy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 27 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 28 / 88
Dalsze własności macierzy rzutującej Własności ortoprojektora: P2 = P i PT = P
Macierz rzutująca Pn�n rzutuje na swoją podprzestrzeń kolumnową
C(P) za pomocą swojej podprzestrzeni zerowej N (P). Dzięki temu, że
macierz jest kwadratowa wymiary tych przestrzeni dopełniają się do n.
Przestrzenie C(P) i N (P) nie muszą być ortogonalne, ale jeśli są, to
mówimy, że rzutowanie jest prostokątne i w takim przypadku ze
względu na dopełnianie się i ortogonalność podprzestrzeni
N (P) =N (PT) a zatem
PT = P .
Macierz rzutującą P spełniajacą dodatkowo ten warunek nazywa się
projektorem symetrycznym lub ortoprojektorem.
Przykład
W przestrzeni trójwymiarowej można rzutować na prostą za pomocą
płaszczyzn rzutujących (dotychczasowy przykład) lub na płaszczyznę za
pomocą prostych rzutujących.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 29 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 30 / 88
Własności ortoprojektora: P2 = P i PT = P Czy macierz Py z przykładu jest ortoprojektorem?
Po pierwsze przypomnijmy, że z zależności
Ą# ń#
0.3 0.6 0.1
ó#
PTy = 0
Py = 0.3 0.6 0.1Ą#
Ł# Ś#
0.3 0.6 0.1
wynika, że każdy wektor y spełniający ją, czyli należący do lewej
przestrzeni zerowej macierzy P, tj. do przestrzeni N (PT), jest
NIE! to nie jest macierz symetryczna
ortogonalny do każdego wiersza macierzy PT, czyli do każdej kolumny
wyznaczamy kąt pomiedzy prostą, na którą rzutujemy a wektorem
macierzy P z czego wynika ortogonalność przestrzeni C(P) i N (PT)
normalnym do płaszczyzny rzutującej, czyli kąt � między wektorami
po drugie, z zależności
Ą# ń# Ą# ń#
PT = P
1 0.3
ó# ó#
1Ą# oraz 0.6Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
wynika, że
1 0.1
N (P) =N (PT)
stąd zaś wynika ortogonalność przestrzeni C(P) i N (P), czyli to, że 1 � 0.3 + 1 � 0.6 + 1 � 0.1 1
cos � = " " = " " = 0.8513
rzutowanie za pomocą macierzy P jest prostokątne (co będzie
12 + 12 + 12 0.32 + 0.62 + 0.12 3 0.46
dokładniej rozważane w kolejnej części wykładu).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 31 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 32 / 88
Czy macierz Py z przykładu jest ortoprojektorem? Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji
Z równości
1
cos � = " " = 0.8513 ,
Wiemy, że
3 0.46
u = -0.3r - 0.6g + 0.9b
przy czym � to jest kąt pomiędzy osią luminancji a wektorem normalnym
do płaszczyzny chrominancji, wynika, że v = 0.7r - 0.6g - 0.1b
oraz
� H" 0.5524 rad H" 31.6514ć% .
1
u = - g + b
6
Zatem kąt pomiędzy osią luminancji a płaszczyzną chrominancji to
1
v = r - g .
2
90ć% - � H" 90ć% - 31.6514ć% = 58.3486ć% H" 1rad .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 33 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 34 / 88
Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji


Otrzymaliśmy wektor
Ą# ń#
Należy obliczyć wektor
0.7r - 0.6g - 0.1b

ó#
1 1 uu + vv = r g b + 0.4g - 0.1bĄ# .
Ł#-0.3r Ś#
uu+vv =(-0.3r -0.6g +0.9b)(- g+b)+(0.7r -0.6g -0.1b)(r- g) =
-0.3r - 0.6g + 0.9b
6 2
=(0.05r + 0.1g - 0.15b)g +(-0.3r - 0.6g + 0.9b)b+ Zatem macierz rzutująca jest równa
Ą# ń#
+(0.7r - 0.6g - 0.1b)r +(-0.35r + 0.3g + 0.05b)g =
0.7 -0.6 -0.1
ó#
Puv = 0.4 -0.1Ą# .
Ł#-0.3 Ś#
(0.7r - 0.6g - 0.1b)r +(-0.3r + 0.4g - 0.1b)g +(-0.3r - 0.6g + 0.9b)b
-0.3 -0.6 0.9
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 35 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 36 / 88
Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji

Otrzymaliśmy macierz rzutującą Otrzymaliśmy macierz rzutującą
Ą# ń# Ą# ń#
0.7 -0.6 -0.1 0.7 -0.6 -0.1
ó# ó#
Puv = 0.4 -0.1Ą# . Puv = 0.4 -0.1Ą# .
Ł#-0.3 Ś# Ł#-0.3 Ś#
-0.3 -0.6 0.9 -0.3 -0.6 0.9
Jej przestrzeń kolumnowa to płaszczyzna Jej przestrzeń kolumnowa to płaszczyzna
0.3r + 0.6g + 0.1b = 0 , 0.3r + 0.6g + 0.1b = 0 ,
istotnie istotnie
0.3 � 0.7 + 0.6 � (-0.3) +0.1 � (-0.3) =0 . 0.3 � (-0.6) +0.6 � 0.4 + 0.1 � (-0.6) =0 .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 37 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 38 / 88
Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji

Otrzymaliśmy macierz rzutującą Otrzymaliśmy macierz rzutującą
Ą# ń#
Ą# ń#
0.7 -0.6 -0.1
0.7 -0.6 -0.1
ó#
ó#
Puv = 0.4 -0.1Ą# .
Ł#-0.3 Ś#
Puv = 0.4 -0.1Ą# .
Ł#-0.3 Ś#
-0.3 -0.6 0.9
-0.3 -0.6 0.9
Jej przestrzeń kolumnowa to płaszczyzna
Jej przestrzeń kolumnowa to płaszczyzna
0.3r + 0.6g + 0.1b = 0
0.3r + 0.6g + 0.1b = 0 ,
Ą# ń#
1
ó#
istotnie
a jej przestrzeń zerowa to prosta rzutująca y 1Ą# .
Ł# Ś#
0.3 � (-0.1) +0.6 � (-0.1) +0.1 � 0.9 = 0 .
1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 39 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 40 / 88
Rzut obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji Czy znając macierz Py można wyznaczyć macierz Puv?


f fy f fuv
Otrzymaliśmy macierz rzutującą
Ą# ń#
Rzuty wektora f na oś luminancji i na płaszczyznę chrominancji oznaczamy
0.7 -0.6 -0.1
odpowiednio przez fy i fuv.
ó#
Puv = 0.4 -0.1Ą# .
Ł#-0.3 Ś#
-0.3 -0.6 0.9
f
f = fy + fuv
Jej przestrzeń kolumnowa to płaszczyzna
fuv
fy = Pyf
0.3r + 0.6g + 0.1b = 0
fuv = Puvf = f - fy =(I - Py)f
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 0.7 -0.6 -0.1 0
Ą# Puv = I - Py
fy
przestrzeń zerowa to prosta yó#1Ą#, 1�ó#-0.3Ą#+1�ó# 0.4 +1�ó#-0.1Ą#=ó#0Ą# .
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
1 -0.3 -0.6 0.9 0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 41 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 42 / 88
Czy znając macierz Py można wyznaczyć macierz Puv? Relacje między przestrzeniami P i I - P
Po pierwsze, jeśli macierz P jest macierzą rzutującą, to i macierz
I - P jest macierzą rzutującą, istotnie
(I - P)2 = I - 2IP + P2 = I - 2P + P = I - P .

Po drugie, przestrzeń zerowa macierzy I - P jest przestrzenią
f fy f fuv kolumnową macierzy P, istotnie niech
Ą# ń#
(I - P)x = 0
0.3 0.6 0.1
ó#
Istotnie Py = 0.3 0.6 0.1Ą#
Ł# Ś#
wówczas
0.3 0.6 0.1
x = Px .
a ponadto
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
0.7 -0.6 -0.1 1 0 0 0.3 0.6 0.1 Na tej samej zasadzie przestrzeń kolumnowa macierzy I - P jest
ó# ó# ó#
Puv = 0.4 -0.1Ą# = 0 1 0Ą# - Ł# Ś# przestrzenią zerową macierzy P.
Ł#-0.3 Ś# Ł# Ś# 0.3 0.6 0.1Ą# = I - Py .
-0.3 -0.6 0.9 0 0 1 0.3 0.6 0.1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 43 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 44 / 88

Podsumowanie rzutowania w przestrzeni barw Zapis wyrażenia u v
Dowolny wektor w przestrzeni RGB, to
Ą# ń#
r

Ą# ń#
ó#
f = rr + gg + bb = r g b gĄ#
Ł# Ś#
0 0

ó#
b
u v = y u v 1 0Ą#
Ł# Ś#
0 1
W przypadku rzutowania na płaszczyznę chrominancji jego rzutem jest
ale
wektor
Ą# ń#

r y u v = r g b T-1

u
fuv = uu + vv = u v = r g b Puv ó#gĄ#
Ł# Ś#
v zatem
Ą# ń#
b
0 0

u v = r g b T-1 ó#1 0Ą#
Ł# Ś#
W zapisie skróconym, tj. przy pominięciu bazy r, g, b, mamy
0 1
Ą# ń# Ą# ń#
r r
ó#
f = gĄ# , fuv = Puv ó#gĄ# = Puvf
Ł# Ś# Ł# Ś#
b b
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 45 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 46 / 88
Ą# ń# Ą# ń#

u u
Ł# Ś#
Zapis wyrażenia Zapis wyrażenia u vŁ# Ś#
v v
Ą# ń# Ą# ń#

0 0 r

u 0 1 0
ó#
u v = r g b T-1 ó#1 0Ą# T gĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ą# ń#
v 0 0 1

y 0 1 b
u 0 1 0
ó#
= uĄ#
Zatem macierz rzutująca jest równa
v 0 0 1Ł# Ś#
Ą# ń# Ą# ń#
v
0 0 0 0 0
0 1 0
ale
Ą# ń# Ą# ń#
Puv = T-1 ó#1 0Ą# T = T-1 ó#0 1 0Ą# T = T-1CuvT ,
Ł# Ś# Ł# Ś#
0 0 1
y r
0 1 0 0 1
ó# ó#
uĄ# = T gĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
przy czym T oznacza macierz przekształcenia przy zmianie bazy z r, g, b
v b
na y, u, v a przez Cuv oznaczono macierz wyboru przestrzeni chrominancji
zatem
Ą# ń#
o bazie u, v, na którą rzutujemy (zero na przekątnej macierzy wyboru

r
u 0 1 0 odpowiada wektorowi luminancji y, czyli bazie przestrzeni rzutującej)
ó#
= T gĄ#
Ł# Ś#
Ą# ń#
v 0 0 1
0 0 0
b
ó#
Cuv = 0 1 0Ą# .
Ł# Ś#
0 0 1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 47 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 48 / 88
Czy otrzymana macierz Puv jest macierzą rzutujacą? Rzutowanie z zamienionymi podprzestrzeniami
Sprawdzamy czy Obliczmy teraz macierz Py rzutujacą na oś luminancji, tj. tę, od której
P2 = Puv .
zaczęliśmy nasze rozważania o rzutowaniu
uv
Obliczamy więc
Py = I - Puv = T-1T - T-1CuvT = T-1(I - Cuv)T =
�#Ą# ń# Ą# ń#ś# Ą# ń#
P2 = T-1CuvTT-1CuvT = T-1CuvCuvT
uv
1 0 0 0 0 0 1 0 0
ó#
= T-1 ś#ó#0 1 0Ą# - Ł# Ś# # Ł# Ś#
�#Ł# Ś# 0 1 0Ą#ź# T = T-1 ó#0 0 0Ą# T =
ale macierz Cuv też jest macierzą rzutującą na płaszczyznę chrominancji
0 0 1 0 0 1 0 0 0
tyle, że w bazie y, u, v, co po prostu oznacza opuszczenie składowej yy,
czyli
= T-1CyT .
C2 = Cuv
uv
Zauważmy, że w macierzy wyboru Cy element równy 1 odpowiada
a zatem
jednostkowemu wektorowi luminancji y, a miejsca zerowe na głównej
P2 = T-1CuvT = Puv
uv przekątnej dotyczą wektorów jednostkowych chrominancji u i v, czyli
odwrotnie niż w macierzy wyboru Cuv.
co należało udowodnić.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 49 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 50 / 88
Iloczyn skalarny wektorów  ujęcie dla zaawansowanych Ilustracja geometryczna iloczynu skalarnego  powtórka
Definicja
Niech Rn będzie ortonormalną przestrzenią Euklidesową. Dane są wektory
x =[x1, x2, . . . , xn]T " Rn i y =[y1, y2, . . . , yn]T " Rn. Ich iloczynem
skalarnym (lub  iloczynem wewnętrznym w przestrzeni Rn) jest liczba
n

x, y = xTy = yTx = xiyi
i=1
Ważne zależności na płaszczyz
nie wektorów x = 0 i y = 0

Iloczyn skalarny ma następujące właściwości:
x, y = y, x
x, y = ||x||2 � ||y||2 � cos �
ą1 ą2 ą1 ą2
x1 + x2, y = x1, y + x2, y
x, y
x, ą1 ą2 ą1 ą2 cos � =
y1 + y2 = x, y1 + x, y2
||x||2 � ||y||2
przy czym ą1 ą2
, " R
x, y
x, x 0 oraz x, x = 0 �! x = 0
� = arc cos

||x||2 � ||y||2
ponadto zauważmy, że x, x = ||x||2
| x, y | ||x||2 � ||y||2 (zwarty zapis nierówności Cauchy ego-Schwarza)
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 51 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 52 / 88
Wektory ortogonalne Wektory ortogonalne
Testy ortogonalności wektorów x i y
Testy ortogonalności wektorów x i y
jeden warunek, a mianowicie xTy = 0 już znamy
jeden warunek, a mianowicie xTy = 0 już znamy
drugi (równoważny) ||x||2 + ||y||2||x + y||2
drugi (równoważny) ||x||2 + ||y||2||x + y||2
wynika z twierdzenia Pitagorasa
wynika z twierdzenia Pitagorasa
inaczej zapisany ma postać xTx + yTy =(x + y)T(x + y)
inaczej zapisany ma postać xTx + yTy =(x + y)T(x + y)
w celu dowiedzenia równoważności obu warunków wystarczy
w celu dowiedzenia równoważności obu warunków wystarczy
zauważyć, że (x + y)T(x + y) =xTx + xTy + yTx + yTy zatem
zauważyć, że (x + y)T(x + y) =xTx + xTy + yTx + yTy zatem
spełnienie powyższej równości wymaga, aby
spełnienie powyższej równości wymaga, aby
xTy + yTx = 2xTy = 0, co było do udowodnienia.
xTy + yTx = 2xTy = 0, co było do udowodnienia.
Odpowiedz

Pytanie
Czy wektor zerowy jest ortogonalny do jakiegoś innego wektora?
TAK, wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 53 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 54 / 88
Podprzestrzenie ortogonalne Podprzestrzenie ortogonalne
Pytanie Warunek konieczny ortogonalności podprzestrzeni
Co to znaczy, że dwie podprzestrzenie są wzajemnie ortogonalne? Dwie podprzestrzenie S i T jednej przestrzeni mogą być ortogonalne tylko
wtedy, gdy ich część wspólna to jedynie wektor zerowy.
Odpowiedz

Przykład
Dwie podprzestrzenie S i T jednej przestrzeni są ortogonalne, jeśli każdy
wektor z przestrzeni S jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni T.
Obie podprzestrzenie wejściowe (wyjściowe) macierzy A są wzajemnie
ortogonalne, co wynika z zależności Ax = 0 i ATy = 0.
Przykład
Czy ściany pomieszczenia (traktowane jako podprzestrzenie są ortogonalne
do sufitu lub podłogi tego pomieszczenia lub wzajemnie do siebie, jeśli to
pomieszczenie jest prostokątem?)
Odpowiedz

NIE, istnieją wzajemnie w nich wektory leżące pod dowolnie małymi
kątami, np. te, które leżą na wspólnej krawędzi, tworzą kąt równy 0.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 55 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 56 / 88
Rzut prostokątny wektora x na wektor u Rzut prostokątny wektora x na wektor u
x x
u u
Rozważmy rzut prostokątny wektora x na wektor u, przy czym zakładamy, Rozważmy rzut prostokątny wektora x na wektor u, przy czym zakładamy,
że ||u||2 = 1. Długość tego rzutu (określona przez płaszczyznę że ||u||2 = 1. Długość tego rzutu (określona przez płaszczyznę
(podprzestrzeń) rzutującą ortogonalną do wektora u) to ||x||2 cos( "(u, x)) (podprzestrzeń) rzutującą ortogonalną do wektora u) to ||x||2 cos( "(u, x))
ale, ze względu na jednostkową długość wektora u, to także iloczyn ale, ze względu na jednostkową długość wektora u, to także iloczyn
skalarny obu wektorów skalarny obu wektorów
||u||2||x||2 cos( "(u, x)) = uTx = u, x ||u||2||x||2 cos( "(u, x)) = uTx = u, x
Rzut prostokątny wektora x na wektor u jest więc wektorem Rzut prostokątny wektora x na wektor u jest więc wektorem
u(uTx) =(uuT)x = Px u(uTx) =(uuT)x = Px
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 57 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 58 / 88
Rzut prostokątny wektora x na wektor u Rzut prostokątny wektora x na wektor u
x x
t t
u(u x) = (uu )x = Px
u u
Rozważmy rzut prostokątny wektora x na wektor u, przy czym zakładamy, Rozważmy rzut prostokątny wektora x na wektor u, przy czym zakładamy,
że ||u||2 = 1. Długość tego rzutu (określona przez płaszczyznę że ||u||2 = 1. Długość tego rzutu (określona przez płaszczyznę
(podprzestrzeń) rzutującą ortogonalną do wektora u) to ||x||2 cos( "(u, x)) (podprzestrzeń) rzutującą ortogonalną do wektora u) to ||x||2 cos( "(u, x))
ale, ze względu na jednostkową długość wektora u, to także iloczyn ale, ze względu na jednostkową długość wektora u, to także iloczyn
skalarny obu wektorów skalarny obu wektorów
||u||2||x||2 cos( "(u, x)) = uTx = u, x ||u||2||x||2 cos( "(u, x)) = uTx = u, x
Rzut prostokątny wektora x na wektor u jest więc wektorem Rzut prostokątny wektora x na wektor u jest więc wektorem
u(uTx) =(uuT)x = Px u(uTx) =(uuT)x = Px
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 59 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 60 / 88
Właściwości macierzy (projektora) P = uuT  jeszcze raz Właściwości macierzy (projektora) P = uuT  jeszcze raz
Twierdzenie Twierdzenie
Niech u " Rn i ||u||2 = 1. Macierz P = uuT ma następujące własności: Niech u " Rn i ||u||2 = 1. Macierz P = uuT ma następujące własności:
Pu = u Pu = u
Pv = 0 jeśli u, v = 0 Pv = 0 jeśli u, v = 0
P2 = P P2 = P
PT = P PT = P
Definicja Definicja
Macierz P spełniająca warunek P2 = P jest nazywana projektorem Macierz P spełniająca warunek P2 = P jest nazywana projektorem
Projektor symetryczny, czyli spełniający warunek PT = P jest Projektor symetryczny, czyli spełniający warunek PT = P jest
nazywany ortoprojektorem. nazywany ortoprojektorem.
Wniosek Wniosek
Macierz P = uuT jest ortoprojektorem. P = uuT to ortoprojektor, istotnie PT =(uuT)T = uTTuT = uuT = P .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 61 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 62 / 88
Zasadnicza różnica między wyrażeniami: uuT i uTu Zasadnicza różnica między wyrażeniami: uuT i uTu
Uwaga Uwaga
Niech u " Rn. Niech u " Rn.
Wyrażenie uuT " Rn�n jest macierzą o wymiarze n � n; Wyrażenie uuT " Rn�n jest macierzą o wymiarze n � n;
jeśli ||u||2 = 1, to ta macierz jest projektorem na wektor u. jeśli ||u||2 = 1, to ta macierz jest projektorem na wektor u.
Wyrażenie uTu " R to iloczyn skalarny wektora u przez siebie; Wyrażenie uTu " R to iloczyn skalarny wektora u przez siebie;
jest więc nieujemną liczbą rzeczywistą równą kwadratowi modułu jest więc nieujemną liczbą rzeczywistą równą kwadratowi modułu
wektora u wektora u
uTu = u, u = ||u||2 uTu = u, u = ||u||2
2 2
Zatem w ogólnym przypadku (także dla ||u||2 = 1) projektor na Zatem w ogólnym przypadku (także dla ||u||2 = 1) projektor na

wektor u wyraża się wzorem wektor u wyraża się wzorem (rzut nie zależy od długości wektora u)
uuT uuT
P = . P = .
uTu uTu
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 63 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 64 / 88
Proste ujęcie Profesora Gilberta Stranga Dwa proste pytania
Pierwsze pytanie
Jak zmieni się rzut p, gdy n-krotnie zmieni się wektor b?
Odpowiedz
na pierwsze pytanie
Rzut p też zmieni się n-krotnie.
Drugie pytanie
Jak zmieni się rzut p, gdy n-krotnie zmieni się wektor a?
aTe = aT(b - p) =aT(b - xa) =0
Odpowiedz
na drugie pytanie
xaTa = aTb Rzut p wcale się nie zmieni.
aTb
x =
Wniosek
aTa
Dlatego rzutowanie jest opisywane za pomocą mnożenia przez wektor b
aTb aaT aaT
p = ax = a = b = Pb , P =
macierzy zależnej od wektora a (niezmienniczo względem jego długości).
aTa aTa aTa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 65 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 66 / 88
Rzut prostokątny przestrzeni na podprzestrzeń Rozwiązywanie równania Ax = b, które nie ma rozwiązań
Rzutowanie wektora na wektor można uogólnić na rzutowanie przestrzeni
na podprzestrzeń kolumnową macierzy. Jeśli ta macierz jest kwadratowa i
spełnia warunek
P2 = P
to jest właśnie macierzą, która realizuje takie rzutowanie. Jej
podprzestrzeń zerowa określa sposób rzutowania na przykładzie wszystkich
wektorów x, których rzut jest wektorem zerowym
Px = 0
Inne wektory b są rzutami równin równoległych do przestrzeni zerowej,
przesuniętych o rozwiązanie szczególne równania
Px = b .
Jeśli rzutowanie jest prostokątne, to lewa podprzestrzeń zerowa macierzy
rzutującej jest tożsama z jej podprzestrzenią zerową, tzn.
PT = P .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 67 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 68 / 88
Ć
Równanie Ax = b zastępujemy równaniem Ax = p Rzut prostokątny na płaszczyznę wektorów a1 i a2
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 69 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 70 / 88
Rzut prostokątny na płaszczyznę wektorów a1 i a2 Rzut prostokątny minimalizuje błąd e
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 71 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 72 / 88
Rzut prostokątny minimalizuje błąd e Relacja między rzutem p i błędeme
Zauwważmy, że
p =Ć +Ć = AĆ
x1a1 x1a2 x
Należy znalez
ć taki wektor Ć że wektor błędu e = b - AĆ jest minimalny
x, x
tzn. jest prostopadły do wektora p i do płaszczyzny wektorów a1 i a2.
Azatem
aT(b - AĆ =0
x)
1
aT(b - AĆ =0
x)
2
czyli

aT 0
1
(b - AĆ =
x)
aT 0
2
lub
ATe = AT(b - AĆ =0
x)
i stąd wektor błędu e należy do przestrzeni N (AT), która jest ortogonalna
do przestrzeni C(A). Błąd e jest prostopadły do kolumn macierzy A.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 73 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 74 / 88
Wyrażenie opisujące ortoprojektor P Pytanie
Zależność
W jakim przypadku prawdziwe jest następujące rozumowanie?
AT(b - AĆ =0
x)
Skoro
P = A(ATA)-1AT
można zapisać jako
ATAĆ = ATb
x
to
P = AA-1(AT)-1AT = I
Stąd rozwiązanie ma postać
Ć =(ATA)-1ATb
x
Odpowiedz

A zatem rzut p wektora b jest równy
To rozumowanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy macierz A jest
kwadratowa i odwracalna, czyli, gdy jej przestrzenią kolumnową jest cała
p = AĆ = A(ATA)-1ATb = Pb
x
przestrzeń.
Rzutowanie przestrzeni na samą siebie nie zmienia wektorów, tzn. same są
Ostatecznie macierz rzutującą (ortoprojektor) opisuje zależność
swoimi rzutami
i dlatego w tym przypadku macierz rzutująca jest macierzą jednostkową.
P = A(ATA)-1AT
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 75 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 76 / 88
Regresja i metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa i metoda najmniejszych kwadratów
Rozkład następujących punktów
(1, 1) , (2, 2) , (3, 2)
należy przybliżyć linią prostą o równaniu
y = C + Dt
Stąd
C + D = 1
C + 2D = 2
C + 3D = 2
a zatem otrzymujemy równanie
Ą# ń# Ą# ń#

1 1 1
C
ó# ó#
1 2Ą# = 2Ą# , czyli równanie postaci Ax = b .
Ł# Ś# Ł# Ś#
D
1 3 2
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 77 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 78 / 88
Regresja i metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa i metoda najmniejszych kwadratów
Równanie
Ax = b
przy czym
Ą# ń# Ą# ń#

1 1 1
C
ó# ó#
A = 1 2Ą# , x = , b = 2Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
D
1 3 2
nie ma rozwiązań. Zamiast niego rozwiązujemy rówanie
AĆ = p
x
w którym wektor b, który nie należy do przestrzeni kolumnowej macierzy A
został zastąpiony rzutem prostokątnym p na tę podprzestrzeń, czyli
optymalnym przybliżeniem wektora b w tej podprzestrzeni.
Wektora p nawet nie musimy wyznaczać, bo należy rozwiązać równanie
ATAĆ = ATb
x
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 79 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 80 / 88
Regresja i metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów
Minimalizujemy błąd
e = AĆ - b
x
a ściślej
2 2 2
||AĆ - b||2 = ||e||2 = e1 + e2 + e3 =
x
=(C + D - 1)2 +(C + 2D - 2)2 +(C + 3D - 2)2
Aby zminimalizować błąd należy obliczyć pochodne cząstkowe względem
C oraz D i przyrównać je do zera
(C + D - 1) +(C + 2D - 2) +(C + 3D - 2) =0
(C + D - 1) +2(C + 2D - 2) +3(C + 3D - 2) =0
stąd
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 81 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 82 / 88
Regresja i metoda najmniejszych kwadratów Regresja i metoda najmniejszych kwadratów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 83 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 84 / 88
Regresja liniowa Regresja liniowa i metoda najmniejszych kwadratów
Mamy do rozwiązania układ równań
Mamy do rozwiązania układ równań
3C + 6D = 5
ATAĆ = ATb
x
6C + 14D = 11
Ą# ń#

stąd
1 1 1
1 1 1 3 6 5
ó# Ą#
1
AT[A|b] = 1 2 2 =
2D = 1 , czyli D =
1 2 3Ł# Ś# 6 14 11
2
1 3 2
oraz
2
Otrzymana macierz
3C + 3 = 5 , czyli C =

3
3 6
ATA = Najlepsza linia prosta tj. prosta regresji liniowej to
6 14
2 1
y = + t
jest symetryczna, odwracalna i dodatnio określona.
3 2
Mamy więc do rozwiązania układ równań
zatem
7 5 13
p1 = , p2 = , p3 =
3C + 6D = 5 6 3 6
oraz
6C + 14D = 11
1 2 1
e1 = - , e2 = , e3 = -
6 6 6
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 85 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 86 / 88
Regresja liniowa i metoda najmniejszych kwadratów Rzuty przestrzeni byków na jej podprzestrzenie przy
poszukiwaniu  bykowatości byka w wersji Pabla Picassa
Ą# ń# Ą#
7 1ń#
- Ą# ń#
ó# Ą# ó#
6 6Ą# 1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
5 2
ó# Ą# ó# Ą# ó#
p + e = ó# Ą# + ó# Ą# = ó#2Ą# = b
Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
3 6
ó# Ą# ó# Ą# Ł# Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ł#
13Ś# 1Ś# 2
-
6 6
ponadto
pTe = 0 , aTe = 0 , aTe = 0
1 2
przy czym
Ą# ń# Ą# ń#
1 1
ó# ó#
a1 = 1Ą# oraz a1 = 2Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
1 3
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 87 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 15 grudnia 2012 88 / 88