Laboratorium informatyki w zarządzaniu, (C) 2001-2004 by B.Gudowski & J. Wąs Katedra Automatyki AGH

Laboratorium z metod numerycznych.

1. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD-a 1.Oblicz sumę wyrażenia przy założeniu: k := 1240� 7

:= oznacza przypisanie

= ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku l := 4467

d := k + l

3

d = 7.748 � 10

2. Podaj otrzymany wynik:

a) w postaci wykładniczej z dokładnością do czterech miejsc po przecinku (menu Format->Result albo dwuklik lewym przyciskiem myszy na wyniku) b) w postaci liczby dziesiętnej (parametr exponential threshold równy tutaj minimum 4) 3

d = 7747.7316

d = 7.748 � 10

3. Oblicz pole powierzchni walca o promieniu podstawy r = 17 i wysokości h = 33. Stała π jest zdefiniowana w programie. Proszę oznaczyć pole powierzchni przez S i wypisać wzory.

4. Przećwicz wprowadzanie formuł matematycznych, w których występują rozmaite operatory i symbole:

�Ś

2

⎮

(

)

2�x + x

⎛1 0 3 �ś

x�ł1

⎮

dx

�ś

(

)

1

�ł

:=

+

3

1 1 2

x

�ą

z

4

5j

⎮

�Ź

�x �ł 4�x

�ś

⎮

4

⎝1 0 1 �

�ą = 0

�ŚĄ

5j bez mnożenia!

Całka: CTRL + I

CTRL + M

CTRL + Shift + 3

UWAGA: Podczas edycji kolejne, coraz większe, części wyrażenia zaznaczamy naciskając spację!

5. Opisz uprzednio wprowadzone formuły przy użyciu pól tekstowych (znak cudzysłowu lub menu Insert->Text Region).

6. Oblicz wartość wyrażenia:

x1 := 0.3452

t := 23.9

r := 0.2

tzw. opisowy indeks dolny uzyskiwany przez naciśnięcie klawisza kropki; zamiast niego oczywiście można x1 + r

�

S :=

�(x )t r

napisać po prostu x1.

1

r�sin(2�x1) + 3.3456

7. Oblicz ilość ciepła, które wydzieli się podczas hamowania przy danych m = 2500g, v = 60km/h m := 2500�gm

Żeby dokonać automatycznego przeliczenia v := 60�kph

między jednostkami klikamy na wyniku a następnie dwukrotnie klikamy na czarnym Ilość ciepła oblicz wg zależności:

kwadraciku za wynikiem. Z listy wybieramy 2

m�v

właściwą jednostkę.

Q :=

2

wynik podaj w dżulach (J) i kilokaloriach (kcal).

1 / 4

Laboratorium informatyki w zarządzaniu, (C) 2001-2004 by B.Gudowski & J. Wąs Katedra Automatyki AGH

8. Poniżej dana jest macierz M, wyznacz symbolicznie macierz odwrotną, macierz transponowaną, wyznacznik macierzy M (chodzi o uzyskanie wzorów analitycznych). Następnie oblicz to samo numerycznie. Porównaj wyniki otrzymane numeryczne z tymi ze wzorów analitycznych.

⎛ a 1 a

�ł �ś

�ś

Zaznaczamy przy użyciu spacji macierz (tylko macierz!) a a := 2

M :=

0 1 1

�ś

następnie wybieramy z menu opcję

⎝

Symbolics->Matrix->Invert.

a

�ł a 1 �

9. Zdefiniuj wektor w1, którego składowymi są pola 3-ciej KOLUMNY macierzy M. Następnie zdefiniuj wektor w2 z drugiego WIERSZA macierzy M. Elementy macierzy/wektorów są domyślnie indeksowane od zera. Można to zmienić w opcjach (menu Tools->Worksheet Options) lub ustawiając zmienną ORIGIN.

10. Oblicz wartości własne macierzy M - funkcja eigenvals().

11. Zdefiniuj macierz jednostkową 20x20 - funkcja identity().

12. Rozwiń podane wyrażenie (menu Symbolics->Expand) i oblicz pochodną otrzymanej formuły (menu Symbolics->Variable->Differentiate). W przypadku wyznaczania pochodnej należy umieścić kursor w bezpośrednim sąsiedztwie zmiennej względem której liczymy pochodną. Np. |x6 albo x|6

⎛

3

1

�ś

�ś

x +

⎝

x �

13 .Wyznacz numerycznie i symbolicznie wartość pochodnej wyrażenia (dla obliczeń numerycznych prosze przyjąć jakąś wartość x): d

4

(

)

4

(

)

x �sin(x)

x �sin(x)

pochodna numeryczna:

dx

14. Wymnóż symbolicznie wyrażenie:

2

3

(

) 2

�(

)

5�a �b + 4�b

3�a + b

15. Rozłóż wyrażenie na czynniki proste (menu Symbolics->Factor - opcja nie zadziała jeśli pierwiastki wielomianu nie są liczbami całkowitymi): 2

x + 2�x �ł 15

16. Utwórz opis z następującym tekstem i wykonaj obliczenia:

"Obliczenie pierwiastków równania kwadratowego 2y2 + 3y - 12 = 0"

b := 3

a := 2

c := 1

�ł 2

2

b

�ł �ł �ą

b

�ł + �ą

�ą := b �ł 4�a�c

x :=

x

1

2 :=

2�a

2�a

2 / 4

Laboratorium informatyki w zarządzaniu, (C) 2001-2004 by B.Gudowski & J. Wąs Katedra Automatyki AGH

17. Rozwiąż, równianie kwadratowe z poprzedniego zadania, numerycznie przy użyciu funkcji root() i polyroots() MathCADa.

⎛c �ś

�ś

⎛ 3.312

�ł

�ś

Ogólnie: współczynniku wielomianu umieszczamy w A := b

polyroots(A) = �ś

�ś

wektorze w kolejności od najmniejszej potęgi do

⎝ 1.812 �

⎝

największej.

a �

2

mojafunkcja(y) := a�y + b�y + c

Przykład definiowania własnej funkcji w MathCADzie x := 10

Punkt startowy.

root(mojafunkcja(x) , x) = 1.812

Funkcja root() znajduje tylko jeden pierwiastek.

Który? To zależy od wyboru punktu startowego.

18. Wyznacz numerycznie i symbolicznie wszystkie pierwiastki wielomianów - wyciągnij wnioski: 6

5

4

3

2

a) x �ł 10�x + 24�x + 34�x �ł 157�x + 24�x + 180

5

4

3

2

b) x �ł 7�x + 3�x + 43�x �ł 28�x �ł 60

19. Rozwiąż numerycznie równianie: cos(x) = x + 0.2

Żeby rozwiązać takie równanie za pomocą funkcji root() należy je przekształcić do postaci f(x) = 0. Sprawdź otrzymane rozwiązanie (trzeba podstawić otrzymaną wartość do wyrażenia).

20. Wygeneruj dowolny ciąg arytmetyczny o kroku różnym od 1.

n := 1 .. 10

Aby uzyskać operator ciągu należy nacisnąć średnik.

n := 1 , 1.2 .. 3

Ogólna postać ciągu arytmetycznego:

pierwszy_wyraz, drugi_wyraz . . ostatni wyraz 21. Sporządź wykres funkcji: f(x, ψ) = sin(x) + sin(2x + ψ) przynajmniej dla dwóch okresów pierwszego składnika. Poeksperymentuj z formatowaniem wykresu.

f(x , ψ) := sin(x) + sin(2�x + ψ)

koko := 0 , 0.6 .. 4�π

Wykres funkcji

2

1.6

1.2

0.8

0.4

f(koko, 0)

0

0.4

Wartoœci funkcji

0.8

1.2

1.6

2 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 15

koko

Argumenty funkcji

22. Sporządź wykres biegunowy relacji x = x dla x od 0 do 8π (polar plot).

3 / 4