42 L I C Z B Y I D Z I A A
A N I A O Åš L I C Z B O W A . O D L E G A
O Åš C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J 43
Na osi liczbowej między liczbami 3 i 7 miesz-
Oś liczbowa. Odległości liczb na osi liczbowej
8
czą się 4 odcinki jednostkowe, więc odległość
między tymi liczbami wynosi 4.
ĆWICZENIE A. Na poniższym rysunku każdy punkt oznaczony literą odpo-
Na osi liczbowej między liczbami -8 i -6,5
wiada pewnej liczbie. Wymień, które z tych liczb są:
mieści się 1,5 odcinka jednostkowego. Odle-
a) większe od 4, c) większe od -2 lub równe -2,
głość między tymi liczbami wynosi 1,5.
b) mniejsze od -1, d) mniejsze od 5 lub równe 5.
Na osi liczbowej między liczbami -2 i 6 mie-
ści się 8 odcinków jednostkowych. Odległość
między tymi liczbami wynosi 8.
ĆWICZENIE B. Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej kilka liczb większych
ĆWICZENIE E. Zaznacz na osi liczbowej liczby -5,6 i -2.
od -3,5. Zaproponuj, jak zaznaczyć na osi wszystkie liczby spełniające ten
a) Jaka jest odległość między tymi liczbami?
warunek.
b) Od większej z tych liczb odejmij liczbę mniejszą. Co zauważyłeś?
Liczby, które rozważaliśmy w powyższych ćwiczeniach, musiały speł-
niać pewne warunki. Każdy z tych warunków można opisać za pomocą Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, wy-
nierówności. Zbiory wszystkich liczb spełniających takie nierówności
starczy od większej z tych liczb odjąć liczbę mniejszą.
możemy zaznaczać na osi liczbowej.
Przykład
Liczby większe od 3,5 to te, Liczby większe od -2 lub równe -2
które spełniają nierówność: to te, które spełniają nierówność: Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a = -9,1 i b = -3,7?
x > 3,5 x e" -2
-9,1 < -3,7 Ustalamy, która liczba jest większa.
Od większej z liczb odejmujemy
b - a = -3,7 - (-9,1) = -3,7 + 9,1 = 5,4
liczbÄ™ mniejszÄ….
Odp. Odległość między liczbami a i b wynosi 5,4.
Liczby mniejsze od 5 lub równe 5
Liczby mniejsze od -1 to te,
to te, które spełniają nierówność:
które spełniają nierówność:
x d" 5
x < -1
Zadania
1. Zapisz odpowiednie nierówności:
ĆWICZENIE C. Poniższe nierówności opisują następujące zbiory liczbowe:
a) Liczba x jest większa od -2,5.
1  liczby dodatnie, 2  liczby ujemne, 3  liczby nieujemne, 4  liczby
b) Liczba a jest mniejsza od 11.
niedodatnie. Dopasuj każdy z tych zbiorów do odpowiedniej nierówności.
c) Liczba x jest ujemna.
A x < 0 B x e" 0 C x > 0 D x d" 0
d) Liczba x jest mniejsza lub równa 5.
Przyjmujemy, że na osi liczbowej odcinek e) Liczba y jest nieujemna.
łączący liczby 0 i 1 ma długość 1 i nazy-
f) Liczba b jest nie mniejsza niż 8.
wamy go odcinkiem jednostkowym.
g) Liczba c jest nie większa niż 11.
Uwaga. Liczba jest nie mniejsza od 8, gdy jest większa od 8 lub równa 8.
ĆWICZENIE D. Podaj przykład dwóch liczb ujem-
nych, których odległość na osi jest równa 1.
2. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających podany warunek.
Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest
a) x < -2 c) x d" 200 e) x e" -3,5
równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom
1 7
(jednostką długości jest odcinek jednostkowy). b) x e" 10 d) x < -1 f) x >
4 3
7
3
/
5
2
44 L I C Z B Y I D Z I A A
A N I A O Åš L I C Z B O W A . O D L E G A
O Åš C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J 45
3. Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego
zbioru (i tylko te liczby).
Symbol |a| oznacza wartość bezwzględną Na przykład dla a = 2 i b = -8 otrzymamy:
liczby a. Bezwzględną wartością liczby do-
|a - b| = |2 - (-8)| = |10| = 10
datniej lub równej 0 jest ta sama liczba,
|b - a| = | - 8 - 2| = | - 10| = 10
a bezwzględną wartością liczby ujemnej
jest liczba do niej przeciwna. Na przykład:
Możemy więc powiedzieć, że dla dowol-

5 nych liczb a i b zachodzi równość:
1 1
= 5 |0| = 0 | - 4| = 4
3 3
|a - b| = |b - a|
Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą
nieujemną. Zauważ, że dla każdej liczby
Zatem, gdy chcemy określić odległość mię-
jej odległość od zera na osi liczbowej jest
dzy dwiema dowolnymi liczbami na osi
4. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełnia-
równa wartości bezwzględnej tej liczby.
liczbowej, nie musimy ustalać, która z liczb
jÄ…cych warunek:
jest większa, wystarczy obliczyć wartość
bezwzględną z dowolnej różnicy tych liczb.
a) 4 d" x < 9 c) -2,5 d" s d" 2,5
1
b) -3 < a < 0 d) -1 < y d"
2
Gdy dla dowolnych dwóch liczb a i b naj-
pierw obliczymy różnicę a - b, a potem ob- Do określania odległości między liczbami na
5. Ustal, ile jest liczb spełniających warunek:
liczymy różnicę b - a, to otrzymamy dwie osi liczbowej symbol wartości bezwzględ-
a) x d" 14 i x jest liczbą naturalną, liczby przeciwne, a więc liczby, których nej przydaje się szczególnie wtedy, gdy nie
3 wartości bezwzględne są równe. wiemy, która z dwóch liczb jest większa.
b) x > -6 i x jest liczbą całkowitą ujemną,
7
c) -2,5 < x d" 3,4 i x jest liczbÄ… naturalnÄ…,
d) -105 d" x d" 95 i x jest liczbÄ… naturalnÄ….
10. a) Przeczytaj ciekawostkÄ™ i oblicz:
| - 5| |2,6| |0 - 6,7| |7,5 - 10| | - 8 - 2| |6 - (-2)|
b) Zdanie: Odległość liczby a od 7 jest równa 3 można opisać za po-
6. Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a i b, gdy:
mocą równania |a - 7| = 3. Dwie liczby spełniają ten warunek. Jakie?
3
a) a = 3,5 b) a = -12 c) a = -1 d) a =
4
c) Znajdz
liczby spełniające równanie |x - 12| = 15.
b = 1 b = 37 b = -105 b = -1
7. a) Jakie liczby leżą na osi liczbowej w odległości 15 od liczby -5?
b) Pewna liczba leży na osi liczbowej dokładnie w tej samej odległości
od liczb -3 i 17. Co to za liczba?
1. Wśród liczb zaznaczonych na osi na pewno
nie ma żadnej liczby:
8. Zaznacz na trzech różnych osiach podane zbiory liczbowe, a następnie
A. dodatniej B. mniejszej od -3 C. nieujemnej D. mniejszej od 3
opisz je za pomocą nierówności (zob. ramka powyżej).
1 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 5 od liczby 0.
2. Odcinek, którego końce na osi mają współrzędne -4 oraz 12 ma długość:
2 Zbiór liczb leżących w odległości nie większej niż 2 od liczby 1.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
3 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 10 od liczby -7.
3. Które z podanych liczb leżą na osi liczbowej w równej odległości od -2?
9. Na osi liczbowej zaznaczono punkt A o współrzędnej -5 oraz punkt B
o współrzędnej 7. Następnie zaznaczono jeszcze dwa punkty C i D A. 1 i -5 B. 0 i 2 C. -4 i 4 D. -3 i -4
w taki sposób, że odległości między punktami C i A oraz D i B są
równe 1,5. Jaka jest odległość między punktami C i D? zadania uzupełniające 73 76, str. 52
-
o
d
a
i
w
x
e
i
b
z
c
i
l
o
i
l
e
ż
e
J
b
u
l
a
z
s
k
Ä™
i
w
t
s
e
j
e
ż
,
o
m
a
z
s
j
e
i
n
m
e
l
a
,
2
-
a
n
w
ó
r
-
a
z
o
t
y
m
e
ż
o
m
o
t
,
3
d
o
:
j
e
c
ó
r
k
ć
a
s
i
p
3
<
x
d"
2
-
y
b
z
c
i
l
j
e
w
o
b
z
c
i
l
i
s
o
a
N
k
e
n
u
r
a
w
n
e
t
e
c
Ä…
j
a
i
n
Å‚
e
p
s
:
k
a
t
ć
y
z
c
a
n
z
a
z
y
m
e
ż
o
m
2
5
/
6
7
52 L I C Z B Y I D Z I A A
A N I A . Z A D A N I A U Z U P E A
N I A J 
C E
65. W 2007 r. firma X zatrudniała 340 70. Oblicz jak najprostszym sposobem:
9
pracowników, z czego stanowili męż-
17 2 3
a) 12 - - 7 + 13
czyz
ni. Rok póz
niej liczba zatrudnio- 7 7
1
nych wzrosła o , przy czym liczba męż- b) -5,8 + 2,7 - 2,2 + 0,3
5
1 1 7 1
czyzn wzrosła tylko o 15. Ile kobiet za-
c) -5 + 1 + 2 +
8 12 12 8
trudniała firma X w 2008 r.?
3 1
d) -0,5 - + 1 - 0,25
4 2
"
66. Zła macocha wsypała dwie miski so-
czewicy do wiadra z popiołem i kazała
71. Oblicz:
Kopciuszkowi w ciągu godziny wybrać
1 1
1 -1 · (-4) e) (-3)2 ·
a)
wszystkie ziarenka. Ziarna stanowiły 4
4
2 3
2 1
ciężaru tej mieszanki. Najpierw przyle-
b) -6 : 2 f) · (-9)
2 3 3
ciały gołębie i wyłuskały z popiołu
5 1
c) -0,2 · (-0,2) g) -62 :
ziaren, potem przyleciały turkawki i wy- 2
1 3
Å‚uskaÅ‚y 0,7 pozostaÅ‚ych ziaren, na ko- d) -3 · (-3) h) 3 : (-1,25)2
3 4
niec przyleciały wróble i wyjęły z po-
piołu ostatnie 18 dag ziaren. Ile ważyła
72. Czy liczba przeciwna do iloczynu
soczewica, a ile popiół?
dwóch liczb przeciwnych jest liczbą do-
datniÄ… czy ujemnÄ…?
"
67. Sprawdz
, czy poniższa równość jest
prawdziwa.
Oś liczbowa. Odległości na osi
2 1
liczbowej
+ =
1 221
2
1+
2
1+ 73. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb
2
1+
1+2 spełniających podany warunek:
3
a) x e" -4 b) x < 7 c) x > 2
4
Działania na liczbach dodatnich
74. Ustal, ile liczb całkowitych leży na
i ujemnych osi liczbowej w odległości:
a) mniejszej niż 20 od zera,
68. Oblicz:
b) mniejszej niż 20 od liczby 15.
4 1
a) -7 - 2 e) -7,2 + 12,36
9 6
75. Podaj liczby, których odległość od
1 5
b) 3 - 8 f) 6,4 - 10,25
4 6 liczby -2 na osi liczbowej wynosi:
3 1 1
a) 10 b) 3,5 c) 113 d) 1999
c) -2 + 7 g) -3 - 1,2
5 3 7
5
d) -3,12 - 6,1 h) 4 - 8,2
6
76. Zapisz, używając symbolu warto-
ści bezwzględnej, równość opisującą po-
69. Oblicz:
dany warunek i znajdz
liczby spełniające
ten warunek:
a) -5,65 + (-2,08) - 1,35
a) Odległość liczby a od liczby 5 na osi
liczbowej jest równa 3.
b) 6,51 + (-2,775) - 11,125
b) Odległość liczby b od liczby 4 na osi

10 1 3
c) - + - + 9 - (- 6,25)
liczbowej jest równa 20.
9 6 4
c) Odległość liczby c od liczby -2 na osi

1
d) -9,3 - -12 - (72,8 - (-13,002)) liczbowej jest równa 1.
5