Pole zniekształceń
odwzorowawczych
Odwzorowanie Gaussa Kr�gera można przedstawić
jako złożenie trzech odwzorowań konforemnych:
1.odwzorowania Lagrange a całej elipsoidy
(współrzędne B,L) na całą sferę (współrzędne �,),
2.poprzecznego walcowego odwzorowania Lamberta I
(poprzeczne odwzorowanie Mercatora) całej sfery (�,)
(poprzeczne odwzorowanie Mercatora) całej sfery (�,)
na nieograniczony w kierunku W E pas płaszczyzny
(XL,YL),
3.odwzorowania płaszczyzny Lamberta I (XL,YL) na
płaszczyznę Gaussa-Kr�gera (xG,yG),
Schemat geometryczny realizacji odwzorowania
Gaussa-Kr�gera metodą Kr�gera
Ogólna zasada aplikacji odwzorowania Gaussa-Kr�gera
W ten sam sposób można przedstawić odwzorowanie
quasistereograficzne (Roushille a) jako złożenie
czterech odwzorowań konforemnych. Trzy z nich są
identyczne z odwzorowaniem Gaussa Kr�gera, a w
ostatnim przechodzimy z płaszczyzny Gaussa Kr�gera
na płaszczyznę (Roushille a):
1.odwzorowania Lagrange a całej elipsoidy
(współrzędne B,L) na całą sferę (współrzędne �,),
(współrzędne B,L) na całą sferę (współrzędne �,),
2.poprzecznego walcowego odwzorowania Lamberta I
(poprzeczne odwzorowanie Mercatora) całej sfery (�,)
na nieograniczony w kierunku W E pas płaszczyzny
(XL,YL),
3.odwzorowania płaszczyzny Lamberta I (XL,YL) na
płaszczyznę Gaussa-Kr�gera (xG,yG),
4.odwzorowania płaszczyzny Gaussa-Kr�gera
(xG,yG) na płaszczyznę Roussilhe a (xQ,yQ)
1. Elementarna skala liniowa
Jest to stosunek różniczkowego przyrostu długości na płaszczyz
nie
odwzorowawczej do odpowiadającego przyrostu długości łuku na elipsoidzie.
m=ds0/dse
Dla wszystkich odwzorowań wiernokątnych parametr ten jest dla danego
punktu wielkością stałą nie zależną od kierunku. Alternatywnym parametrem
punktu wielkością stałą nie zależną od kierunku. Alternatywnym parametrem
jest elementarne zniekształcenie liniowe:
�=m-1
�
�
�
Jeżeli chcemy uzyskać wynik w cm/km należy przemnożyć przez 105.
Ilustracja definicji składowych pola zniekształceń
w przekształceniu wiernokątnym
2. Konwergencja
Jest to zbieżność południków lub zbieżność osi odciętych pary wzajemnie
odwzorowanych układów współrzędnych ł. Oznacza ujemną wartość kąta
kierunkowego południka lub osi odciętych umownego układu pierwotnego
w układzie płaszczyzny odwzorowawczej (wtórnym). Jest to kąt
pomiędzy odwzorowaną osią układu pierwotnego a osią układu
wtórnego mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Podobnie
jak elementarna skala liniowa konwergencja jest parametrem
charakterystycznym dla każdego punktu płaszczyzny odwzorowawczej
charakteryzuje lokalne skręcenie pola zniekształceń.
Odwzorowanie Gaussa-Krugera zostało zdefiniowane jako złożenie trzech
odwzorowań konforemnych, przy czym w konkretnych jego aplikacjach
układy (1992; 2000) dochodzi dodatkowo zmiana skali i translacja (także
przekształcenia konforemne). Finalna skala elementarna długości może
być wyrażona jako iloczyn skal składowych
m=m0*m1*m2*m3
Gdzie:
m0=0,9993- skala podobieństwa dla układu 1992
m - elementarna skala długości dla odwzorowania Lagrange a (całej
m1- elementarna skala długości dla odwzorowania Lagrange a (całej
elipsoidy na całą sferę)
m2- elementarna skala długości odwzorowania poprzecznego Mercatora
względem odwzorowania Lagrange a.
m3- elementarna skala długości odwzorowania Gaussa-Krugera
względem odwzorowania Mercatora
m1=cos(�)*R0/cos(B)*RN m2=1/[1-cos2(�)*sin2(")]1/2 m3=[Cx2+Cy2]1/2
Cx=1+Łk*ak*cos(k*ą)*cosh(k*�)+... Cy=-Łk*ak*sin(k*ą)*sinh(k*�)+...
k=2/2/8 k=2/2/8
W analogicznym układzie początkowym zbieżność południków polega na
sumie algebraicznej.
ł=ł0+ł1+ł2+ł3
ł ł ł ł ł
ł ł ł ł ł
ł ł ł ł ł
gdzie:
ł0, ł1=0- jednorodna zmiana skali i odwzorowanie Lagrange a zachowują
kierunki południków
ł2, ł3- przyrosty konwergencji odpowiednich odwzorowań składowych
ł2=arctg[sin(�)*tg(")] ł3=-arctg[Cy/Cx]
Opierając się na przybliżeniu wzorów podstawowych wielomianami.
Zniekształcenie elementarne �( przeliczenie na skalę m według zależności : � = m-1) w konkretnych
aplikacjach odwzorowania Gaussa  Krugera elipsoidy GRS  80 można wyrazić dostatecznie
dokładnie następującym wielomianem:
�=�0+m0*v2*[q1+ q2*u+q3*u2+q4*v4]
� �
� �
� �
gdzie:
-zmienne pomocnicze
u=(xGK-5800000.0)*2.0*10-6
v=yGK*2.0*10-6
xGK, yGK  nie modyfikowane współrzędne Gaussa Krugera (jeśli yGK=0 to punkt leży na południku
GK GK GK
środkowym i xGK jest długością łuku południka elipsoidy od równika do danego punktu; jeśli x(.), y są
środkowym i x jest długością łuku południka elipsoidy od równika do danego punktu; jeśli x , y(.) są
współrzędnymi  przeskalowanymi m0 to należy obliczyć : xGK =x(.)/m0 ; yGK =y(.)/m0 )
-stałe współczynniki
q1=306.752873
q2=-0.312616
q3=0.006382
q4=0.158591
oraz:
�0-zniekształcenie na południku środkowym odwzorowania w cm/km  dla układu 1992 �0=-70cm/km
Redukcje odwzorowawcze pół powierzchni
(w zastosowaniu uogólnionym do dowolnych odwzorowań
konforemnych)
Podstawą redukcji odwzorowawczej pola powierzchni jest elementarna skala polowa
równa kwadratowi elementarnej skali liniowej
�=m2
�
�
�
Elementarne Zniekształcenie polowe wynosi natomiast
�=�
� �
� �-1
� �
Jeśli S jest polem płata powierzchni elipsoidy, to odpowiadające pole płata
odwzorowanego na płaszczyz
nie równa się:
S0=S*�=S+"S
"S=S*�
"S  poprawka odwzorowawcza pola
� - Elementarne zniekształcenie polowe wzięte jako wartość przeciętna, wyznaczona dla
kilku punktów rozłożonych równomiernie na danym obszarze
Problematyka korekt post-
transformacyjnych związanych z
empirycznym układem
odniesienia
odniesienia
Wpasowanie w układ empiryczny
� korekty globalne (dla całej strefy) o charakterze przekształcenia wiernokątnego
(wielomian zmiennej zespolonej),
� korekty globalne o charakterze afinicznym (wielomian),
� korekty lokalne (ograniczone do obszaru opracowania, fragmentu strefy) oparte
na danym lokalnym zbiorze punktów dostosowania (punktów łącznych),
na danym lokalnym zbiorze punktów dostosowania (punktów łącznych),
realizowane przy zastosowaniu transformacji Helmerta oraz dodatkowej korekty
(korekty posttransformacyjnej) Hausbrandta, mającej na celu  wyzerowanie
odchyłek na punktach łącznych i odpowiednie skorygowanie z tego tytułu
wszystkich pozostałych punktów transformowanych.
Transformacją zgodnie z Polską Normą nazywamy
operację matematyczną polegającą na przeliczeniu
współrzędnych punktów z jednego układu współrzędnych
geodezyjnych na inny układ współrzędnych geodezyjnych.
Transformacja Helmerta
W pierwszym etapie wyznaczamy współczynniki transformacji
w oparciu o współrzędne punktów dostosowania (łącznych).
Oznaczmy { (xi , yi ): i = 1, 2, ... , n }, { (Xi , Yi ): i =1, 2, ... , n }
dane zbiory współrzędnych tych punktów w odpowiednich
układach: pierwotnym i aktualnym. Obliczamy najpierw
współrzędne środków ciężkości zbiorów punktów w obu
układach i dokonujemy odpowiedniego centrowania
współrzędnych.
Teraz możemy już realizować samą transformację
(przekształcenie współrzędnych z układu pierwotnego do
wtórnego) stosując wzory:
x, y - współrzędne punktu w układzie pierwotnym, X , Y -
współrzędne punktu po transformacji (w układzie wtórnym).
Dla wszystkich punktów dostosowania obliczamy stosowne
odchyłki współrzędnych katalogowych (poprawki do
współrzędnych z transformacji):
Vxi = Xi - Xi , Vyi = Yi - Yi
Błąd transformacji:
Przyjmujemy f=n  ilość punktów
Przyjmujemy f=n  ilość punktów
Korekta post-transformacyjna Hausbrandta