Przykłady rachunkowe do wykładu
z  RACHUNKU PRAWDOPODOBIEC
STWA I STATYSTYKI
MATEMATYCZNEJ
część II
Przykład 36
Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość
prawdopodobieństwa w przedziale .
RozwiÄ…zanie
Przykład 37
Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa
Należy obliczyć: dystrybuantę , wartość oczekiwaną , wariancję oraz współczynnik
asymetrii A i spłaszczenia S.
RozwiÄ…zanie
(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością ).
.
Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:
,
,
,
.
Przykład 38
Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca
Znalez
ć gęstość prawdopodobieństwa i obliczyć odchylenie standardowe zmiennej X.
RozwiÄ…zanie
Wariancja zmiennej losowej X wynosi:
;
;
.
Przykład 39
Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia
a odchylenie standardowe . Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie
wartość z przedziału (10, 50).
RozwiÄ…zanie
; ;
Z tablic otrzymuje siÄ™:
Przykład 40
Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i
prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.
RozwiÄ…zanie:
Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:
Zmienna X (moneta 1) Zmienna Y (moneta 2)
Wartości Orzeł, Reszka, Wartości Orzeł, Reszka,
X=1 Y=0 Y=1
X=0
Prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwa
PX=0,5 PY=0,5 PY=0,5 PY=0,5
Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy
w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.
Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:
Dla
Dla
Dla
Dla
Dla
Przykład 41
Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa
Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe i , wartości średnie i , wariancje
i , oraz kowariancję i współczynnik korelacji .
RozwiÄ…zanie
Wartości średnie:
Wariancje:
Kowariancja:
,
Współczynnik korelacji:
Przykład 42
Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej obwodu LC w generatorze
sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu
prawdopodobieństwa
gdzie: C - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest
0
stała.
Rys. Schemat obwodu LC
RozwiÄ…zanie:
Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:
Funkcja odwrotna ma postać
Pochodna tej funkcji
i ostatecznie otrzymujemy
.
Przykład 43
Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na
płaszczyz
nie (dla )
Należy znalez
ć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych
.
RozwiÄ…zanie
, .
Obliczamy jakobian przekształcenia:
.
Gęstość na podstawie wzoru wynosi:
Zmienne losowe są niezależne i:
(rozkład Rayleigha),
(rozkład równomierny).
Przykład 44
Zmienna losowa X ma rozkład normalny . Znalez
ć gęstość prawdopodobieństwa
zmiennej losowe j. Wyznaczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję.
RozwiÄ…zanie
Otrzymana gęstość jest normalna i:
,
.
Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:
.
Przykład 45
W obwodzie przedstawionym na rysunku jest stałym z
ródłem napięciowym
i jest zm. l. o rozkÅ‚adzie jednostajnym miÄ™dzy 900 i 1100 Wð. Należy wyznaczyć,
stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu .
RozwiÄ…zanie
,
Dla otrzymujemy
,
,
i ,
.
Przykład 46
Promień kuli r wyznaczony eksperymentalnie jest zmienną losową normalną o wartości
oczekiwanej i wariancji . Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję objętości kuli V
korzystając ze wzorów dokładnych i metody linearyzacji funkcji.
RozwiÄ…zanie
;
;
,
,
,
,
W oparciu o wzory dokładne mamy:
,
.
Na podstawie metody linearyzacji:
,
.