Schemat układu:
10kN/m
SKN=2
5kN
EI2
15kN
EI2
= 2
EI1
EI1
EI1 = EI
EI2 = 2EI
3 6
Układ podstawowy:
Õ1
10kN/m
u
1
5kN
1 2
EI2
15kN
EI1
Õ1,u2 - niewiadome metody przemieszczeÅ„
0
Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
rik - reakcja w więzie i wywołana jednostkowym przemieszczeniem więzu
k
r11Õ1 + r12 u2 + r1P = 0
Å„Å‚
riP - reakcja w więzie i wywołana obcią\
eniem zewnętrznym
òÅ‚r Õ1 + r22 u2 + r2P = 0
ół 21
Õ1 - obrót wÄ™zÅ‚a 1
u2 -
przemieszczenie poziome węzła 2
Wzory transformacyjne określają wartości momentów przęsłowych przywęzłowych M , M
ik ki
wywołanych obrotami i przemieszczeniami liniowymi (prostopadłymi do osi pręta) węzłow i oraz k :
Õi Õk
Õk
l, EI
l, EI
Mik
Mki
M
ki
i k
i k
È
È
ik
ik
vi
vi
vk
vk
2EI
M = (2Õi + Õk - 3È )
M = 0
ik ik
ik
l
3EI
2EI
M = (Õk -È )
ki ik
M = (Õi + 2Õk - 3È )
ki ik
l
l
zasada znakowania momentów, kątów obrotu węzłów i cięciw:
zwrot prawoskrętny => wartość dodatnia
4
r
11
Stan Õ1 = 1
EI
r
21
1
u2 = 0 Ò!È = 0
ik
2
0,8EI
Õ0 = 0
M(1)
0,4EI
0
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
2EI1 2EI1 2EI
(1)
M = (2Õ0 + Õ1 - 3È ) = Õ1 = = 0,4EI
01 01
l l 5
2EI1 2EI1 4EI1 4EI
M1(1) = (2Õ1 + Õ0 - 3È ) = 2Õ1 = Õ1 = = 0,8EI
0 01
l l l 5
3EI2 3EI2 3Å" 2EI
M1(1) = (Õ1 -È121) = Õ1 = = EI
2
l l 6
Stan u =1
2
Õ0 = Õ1 = 0
- z równaÅ„ Å‚aÅ„cucha kinematycznego wyznaczamy kÄ…ty obrotów ciÄ™ciw prÄ™tów ¨
ik
1,0
u = 1
2
1
2
È12
È
01
0 1 2 0 1 2
3È + 6È12 = 0
4È + 0 = u2
01
01
0
3 1 u2 u2 1
u2 1
È12 = - È = - = - = -
È = =
01
01
6 2 4 8 8
4 4
r
12
0,125EI r
22
0.3EI 1 2
M(2)
0,3EI
0
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
2EI1 2EI1 6EI1 6EI 1
(2)
M = (2Õ0 + Õ1 - 3Å"È ) = (- 3Å"È ) = - È = - Å" = -0,3EI
01 01 01 01
l l l 5 4
2 (2)
M1(0) = M = -0,3EI
01
3EI2 3EI2 3Å" 2EI 1
öÅ‚
2
M1(2) = (Õ1 -È12) = - È = - Å"ëÅ‚ - ÷Å‚
= 0,125EI
ìÅ‚
12
l l 6 8
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczenie współczynników r układu równań kanonicznych:
ik
r
11
EI
r
21
0,8EI 1
2
- równowaga węzła 1 => r =0,8EI +EI =1,8EI
11
- równanie pracy wirtualnej:
0,4EI
r21 Å" 1 + EI Å"È + (0,4EI + 0,8EI) Å"È = 0
12 01
0
1 1
öÅ‚
r21 Å" 1 + EI Å"ëÅ‚ - ÷Å‚
+ (0,4EI + 0,8EI) Å" = 0
ìÅ‚
8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
r21 = -0,175EI
r
12
0,125EI
r
22
0.3EI
1 2
- równowaga węzła 1 => r =0,125EI- 0,3EI =-0,175EI
12
r12= r
21
0,3EI
- równanie pracy wirtualnej:
0
r22 Å" 1 + 0,125EI Å"È - (0,3EI + 0,3EI) Å"È = 0
12 01
1 1
öÅ‚
r22 Å" 1 + 0,125EI Å"ëÅ‚ - ÷Å‚ - (0,3EI + 0,3EI) Å" = 0
ìÅ‚
8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
r22 = 0,1656EI
Wyznaczenie współczynników r układu równań kanonicznych:
iP
10kN/m
5kN
r
2P
r 1
1P 60kN
2
B
7,5
45
30kN
15kN
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
A
2
ql 10 Å"32
(P)
M = - = - = -7,5kNm
7,5 01
12 12
2
ql 10 Å" 32
P)
0 M1(0 = = = 7,5kNm
3 6 12 12
2
ql 10 Å" 62
P)
r
1P M1(2 = - = - = -45kNm
8 8
1
45
7,5
r =7,5-45=-37,5kNm
- równowaga węzła 1 => 1P
4
- wyznaczenie r z równania pracy wirtualnej (stan sił - na rys. powy\
ej, stan przemieszczeń
2P
wirtualnych - rys. poni\
ej):
1,0
1
B
x
"C 2
"B
y
È12
È01
"A A
0
RPW (praca siły na odpowiadającym jej przemieszczeniu jest dodatnia, jeśli zwrot siły i
przemieszczenia jest taki sam):
P P
r2P Å" 1 + M12 Å"È + (M + M1P ) Å"È + 10 Å" 3Å" " +10 Å" 6 Å" "B +15 Å" "C - 5 Å" "D = 0
12 01 0 01 A
przemieszczenia: " , " , " , " wyznaczamy z równań łańcucha kinematycznego
A B C D
(znak dodatni oznacza przemieszczenia o zwrotach zgodnych z osiami układu współrzędnych.):
0 A 3 B 1 C
- 3È12 = "B "D = 1,0
1,5È = "A 3È = "C
12 01
1 3
3 1 3 öÅ‚ 1 3
"B = -3Å"ëÅ‚ - ÷Å‚
=
" = Å" = ìÅ‚ "C = 3Å" =
A
8 8
2 4 8 íÅ‚ Å‚Å‚ 4 4
1 3 3 3
öÅ‚
- stÄ…d: r2P - 45 Å"ëÅ‚ - ÷Å‚
+ 30 Å" + 60 Å" +15 Å" - 5 Å"1 = 0
ìÅ‚
8 8 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
r2P = -45,625kNm
Wyznaczenie niewiadomych układu równań kanonicznych:
1,8EI - 0,175EI
2
1,8EI Å"Õ1 - 0,175EI Å" u2 - 37,5 = 0
Å„Å‚
W = = 0,2675EI
òÅ‚
- 0,175EI 0,1656EI
ół- 0,175EI Å"Õ1 + 0,1656EI Å"u2 - 45,625 = 0
37,5 - 0,175EI
W1 = = 14,1944EI
53,072
Å„Å‚Õ =
45,625 0,1656EI
1
ôÅ‚
ôÅ‚
EI
òÅ‚
1,8EI 37,5
W2 = = 88,6875EI
ôÅ‚u2 = 331,598
- 0,175EI 45,625
ôÅ‚
ół EI
Wyznaczenie rzeczywistych momentów przywęzłowych ze wzorów transformacyjnych:
2EI1 2EI u2 (P)
ëÅ‚Õ - 3Å" öÅ‚
(P)
M = (2Õ0 + Õ1 - 3È )+ M = + M =
ìÅ‚ ÷Å‚
01 01 01 1 01
l l 4
íÅ‚ Å‚Å‚
2EI 53,072 331,598
ëÅ‚ öÅ‚
= - 3Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ - 7,5 = -85,7506kNm
5 EI 4EI
íÅ‚ Å‚Å‚
2EI1 2EI ëÅ‚ öÅ‚
u2 P)
(P)
M10 = (2Õ1 + Õ0 - 3È )+ M10 = 2Õ1 - 3Å" + M1(0 =
ìÅ‚ ÷Å‚
01
l l 4
íÅ‚ Å‚Å‚
2EI 53,072 331,598
ëÅ‚ öÅ‚
= 2 - 3Å" + 7,5 = -49,5218kNm
ìÅ‚ ÷Å‚
5 EI 4EI
íÅ‚ Å‚Å‚
3EI2 3Å" 2EI u2 (P)
ëÅ‚Õ + öÅ‚
(P)
M12 = (Õ1 -È )+ M12 = + M12 =
ìÅ‚ ÷Å‚
12 1
l l 8
íÅ‚ Å‚Å‚
6EI 53,072 331,598
ëÅ‚ öÅ‚
= +
ìÅ‚ ÷Å‚ - 45 = 49,5218kNm
6 EI 8EI
íÅ‚ Å‚Å‚
 ...lub korzystajÄ…c z zasady superpozycji:
53,072 331,598
(1) (2) (P)
M = Õ1M + u2M + M = Å" 0,4EI + Å"(- 0,3EI)- 7,5 = -85,7506kNm
01 01 01 01
EI EI
53,072 331,598
(1 (2) P)
M10 = Õ1M10) + u2M10 + M1(0 = Å" 0,8EI + Å"(- 0,3EI)+ 7,5 = -49,5218kNm
EI EI
53,072 331,598
(1 (2) P)
M12 = Õ1M12) + u2M12 + M1(2 = Å" 4EI + Å" 0,125EI - 45 = 49,5218kNm
EI EI
Wyznaczenie sił tnących w poszczególnych prętach:
ka\
dy z prętów obliczamy jak belkę swobodnie podpartą, poddaną działaniu momentów podporowych i
obciÄ…\
eniu w obrębie przęsła.
49,5218kNm
M0 = 0
"
10kN/m
85,7506 + 49,5218 - T10 Å" 5 -10 Å" 3Å"1,5 = 0
T
10 T10 = 18,0545kN
1
M1 = 0
"
85,7506kNm
T01 Å"5 - 85,7506 - 49,5218 -10 Å"3Å"1,5 = 0
T01 = 36,0545kN
T
01
3
0
10kN/m M1 = 0
"
49,5218kNm
T21 Å" 6 +10 Å" 6 Å"3 + 49,5218 = 0
EI2 T21 = -38,2536kN
M = 0
"
2
T
21
T
12
T12 Å" 6 -10 Å" 6 Å"3 + 49,5218 = 0
1 2
6 T12 = 21,7464kN
Wyznaczenie sił normalnych w poszczególnych prętach: - na podstawie równań równowagi sił
działających na pręty i węzły.
15kN Y = 0
"
21,7464 + 15 -18,0545cosÄ… + N10 sin Ä… = 0
N
12
1
N10 = -32,3921kN
Ä…
18,0545kN
21,7464kN
X = 0
"
N12 -18,0545sin Ä… + 32,3921cosÄ… = 0
N
10
32.3921kN N12 = -4,9918kN
10kN/m
18.0545kN
X = 0
"
N01 + 32,3921+10 Å"3sin Ä… = 0
36.0545kN
N01 = -56,3921kN
N
01
4
Ostateczne wykresy:
Kontrola statyczna:
X = 0
"
- 4,9918 - 36,0545sin Ä… + 56,3921cosÄ… = -0,00014 E" 0
Y = 0
"
-10 Å"9 -15 + 38,2536 + 36,0545cosÄ… + 56,3921sin Ä… = -0,00002 E" 0
M1 = 0
"
36,0545 Å"5 - 85,7506 -10 Å" 3Å"1,5 +10 Å" 6 Å" 3 - 38,2536 Å" 6 = -0,0003 E" 0
Kontrola kinematyczna: