Wielomiany
Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.1.
Wykonaj dzia÷
ania
a) 3x2 + 4x
(6
x)2;
d) (x + 7)3(x
1) + (2 + 3x)2;
b) (2x
6)3 + 4(x
1)2;
e) (x3
2x2 + 4x
1)(x + 1) + (2x
3)2;
c) (3x + 4)2
5(x
6)2 + 3x2
2x;
f ) (4x + 2)(x
3)(x + 7)x:
5.2.
Uporz ¾
adkuj wielomian
a) (x
1)3 + (x + 2)3;
d) (x + 3)(x
3)2
x + 3;
b) (2x + 4)4
3(x
1)2 + 7(x
2);
e) 3(3x + 3)(3x
3)3 + 3x2;
c) (x
3)7 + (x + 3)7
(x
1)4;
f ) (x + x2)2
5(x3
1)2:
5.3.
Dane s ¾
a wielomiany w, g i p:Uporz ¾
adkuj wielomian: w g
3p gdy
a) w(x) = 2x2 + 3x
1; g(x) = x
2; p(x) = 5x2 + 4x;
b) w(x) = (x
1)(x + 2); g(x) = x2 + 3; p(x) = x4
6x3 + 2x2;
c) w(x) = (x + 2)2(x
1)3; g(x) = x + 4; p(x) = x5 + 2x;
d) w(x) = (x3
1)(x3 + 1); g(x) = x3
1; p(x) = x7 + 2x6
5x5 + 1;
e) w(x) = (x + 2)3; g(x) = (x
2)3; p(x) = (x + 3)2;
f ) w(x) = (2x
1)4; g(x) = (x
1)(x + 2); p(x) = 2x:
5.4.
Przedstaw w postaci wielomianu:
a) (12x2 + 6x
3) : 3;
b) (6x3
8x2 + 24x) : x;
c) (2x3
1) : (x
1);
d) (x4
x2)(x + 3) : (x2
1);
e) (x5
11x3 + 3x2 + 18x
27) : (x3
2x + 3);
f ) (x8 + 5x7
6x6 + 8x5 + 40x4
48x3 + 16x2 + 80x
96) : (x3 + 4)2:
Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.5.
Wyznacz zbiór wartości wielomianu w:
a) w(x) = x2
4x;
d) w(x) = (3
x)2 + 4x;
b) w(x) =
x2
3x + 4;
e) w(x) = (3 + 4x)(2x
5);
c) w(x) = (x
2)2
1;
f ) w(x) =
( x
2)2:
5.6.
Przedstaw wielomian w w postaci iloczynowej: a) w(x) = 2x2 + 2x
24;
d) w(x) = 11x2 + 33x
308;
b) w(x) = 3x2
3x
126;
e) w(x) =
3x2 + 21x + 24;
c) w(x) =
x2
x + 6;
f ) w(x) =
4x2 + 6x + 4:
5.7.
Wyznacz zbiór, w którym wielomian w przyjmuje wartości ujemne: a) w(x) =
(x
2)(x + 3);
d) w(x) = (1 + x)x;
b) w(x) =
(1
3x)2
6x + 4;
e) w(x) =
(x + 2)2 + 4;
c) w(x) = x2
4x;
f ) w(x) =
(x
2)2
(x + 1)2:
5.8.
Znajdź najmniejsz ¾
a (n) i najwi ¾
eksz ¾
a (N) wartość wielomianu w na wskazanym przedziale: a) w(x) = x2 + 1;
x 2 [0; 1];
b) w(x) =
x2 + 4;
x 2 [ 2; 1];
c) w(x) = (x
6)(x + 2);
x 2 [ 1; 6];
d) w(x) = x2 + x
2;
x 2 [ 1; 1];
e) w(x) = (x
1)2 + (x + 2)2
x2;
x 2 [ 2; 1];
f ) w(x) =
(x + 3)2 + 4;
x 2 [ 5; 3]:
5.9.
Wyznacz wartości parametru a, dla której wielomian w jest wielomianem stopnia drugiego.
p
p
a) w(x) = (4a2
5a + 1)x3 + x2
2x + 6;
d) w(x) = (a
2)(a +
3)x2 + 3;
b) w(x) = (a2
1)x2 + 6x
2;
e) w(x) = (a3 + 8)x4 + x2;
c) w(x) = (a
3)(a2 + 4)x3 + x2
2x + 3;
f ) w(x) = (a4
16)(a3
1)x2
10:
5.10.
Wykonaj dzielenie w(x) : p(x), jeśli
a) w(x) = x3 + 8x2
5x
84;
p(x) = x + 7;
b) w(x) =
x4 + 7x3 + 14x2
48x;
p(x) = x + 3;
c) w(x) = x4
7x3
14x2
28x
72;
p(x) = x2 + 4;
d) w(x) = x6
15x5 + 85x4
225x3 + 274x2
120x;
p(x) = (x
5);
e) w(x) = 2x3 + 11x2
21x;
p(x) = x + 7;
f ) w(x) = 6x4 + 2x3
40x2 + 24x;
p(x) = x
2:
3
5.11.
Sprawdź czy wielomian w jest podzielny przez dwumian p, jeśli a) w(x) = x3 + 2x2
45x
126; p(x) = x + 6;
b) w(x) = x4
7x3
9x2 + 115x
100; p(x) = x
2;
c) w(x) = 2x4
106x2 + 392; p(x) = x
1;
d) w(x) = 3x4
48x3 + 123x2 + 1182x
5040; p(x) = x
8;
e) w(x) =
x3 + 2x2 + 121x
242; p(x) = x + 11;
f ) w(x) = x3 + 11x2 + 15x
27; p(x) = x + 9:
5.12.
Roz÷
ó·
z wielomian w na czynniki
a) w(x) =
x3 + 4x2 + 20x
48;
d) w(x) = x5
6x4
47x3 + 60x2 + 100x;
b) w(x) = x4
10x3 + 3x2 + 54x;
e) w(x) = x3
7x2 + 4x
28;
c) w(x) =
x3
2x2 + 29x
42;
f ) w(x) = x5
11x4 + 30x3 + x2
11x + 30:
5.13.
Określ stopień nast ¾
epuj ¾
acych wielomianów w zale·
zności od parametrów a i b :
a) w(x) = (a
1)x3 + bx2
2x + 3;
d) w(x) = (ax
3) bx;
b) w(x) = (a
2)x4
bx3 + abx2
x + 6;
e) w(x) = (a2
1)x2 + bx + 2;
c) w(x) = (a
b)x4 + (a + 2)x3 + bx2 + 7x
2;
f ) w(x) = (a + x)(b
x):
5.14.
Znajdź wielomian w wiedz ¾
ac, ·
ze
a) jego stopień jest równy 2, w(0) =
1, w(1) = 7, w(2) = 21;
b) jego stopień jest równy 3 oraz w(0) = 1, w( 1) =
2, w(2) = 43 i wspó÷
czynnik przy x3 jest
równy 5;
c) jego stopień jest równy 2 oraz w(0) = 3, w(1) = 2 i wyraz wolny jest równy 3; d) jego stopień jest równy 4 oraz w(0) = 3; w(1) = 3, w( 1) = 15, w(2) = 33; w( 2) = 93; e) jego stopień jest równy 5 oraz w(0) =
1; w(1) = 0; w( 1) =
2; w(2) = 31; w( 2) =
33 i
wyraz wolny jest rowny
1;
f ) jego stopień jest równy 3 oraz w(0) =
1; w(1) = 0; w(2) = 1; w(3) = 8:
5.15.
Wyznacz stopień wielomianu wn(x) = (2 + x)(2 + x2)(2 + x4) : : : (2 + x2n).
5.16.
Oblicz sum ¾
e wszystkich wspó÷
czynników danego wielomianu:
a) w(x) = (2x3 + 3x2
5x + 6)2;
d) w(x) = ( 7x3 + 6x2 + 2x3)725;
b) w(x) = (x
2)8 + (3x + 1)3;
e) w(x) = x6
2x3 + 5x;
c) w(x) = (2x2
5x3 + 2x4)10 + (2
2x)99;
f ) w(x) = x7 + x6
x5
x4:
Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.17.
Dane s ¾
a wielomiany w; p i q. Znajdź te wartości parametrów a, b i c, dla których wielomiany w p oraz q s ¾
a równe.
a) w(x) = 2x2 + bx + c;
p(x) = ax;
q(x) = 2x3 + 12x2 + 18x;
b) w(x) = x
1;
p(x) = ax + b;
q(x) = 6x2 + 3x
9;
c) w(x) = x; p(x) = ax + b; q(x) = 5x2 + 3x; d) w(x) = ax2 + 1; p(x) = bx; q(x) = 2x3 + x; e) w(x) = x
a; p(x) = x + b; q(x) = x2 + 2x
3;
f ) w(x) = ax + b; p(x) = cx + 1:
5.18.
Nie wykonuj ¾
ac dzielenia, znajdź reszt ¾
e z dzielenia wielomianu w przez dwumian p.
a) w(x) = x4 + 3x3
4x2 + 6x
2;
p(x) = x
1;
b) w(x) = (x
2)(x + 4)(x
3);
p(x) = x + 6;
c) w(x) = (x
2)3 + (x + 2)2;
p(x) = x + 2;
d) w(x) = (x
2)2[(x
1) + 2x];
p(x) = x
4;
e) w(x) = x5
x4 + 3x3
6x2 + 2x;
p(x) = x
2;
f ) w(x) = (x
2)3(x
1)2 + 3;
p(x) = x
4:
5.19.
Wiedz ¾
ac, ·
ze x0 jest pierwiastkiem wielomianu w, znajdź pozosta÷e pierwiastki tego wielomianu: a) w(x) = x4
6x3
19x2 + 84x, x0 =
4;
b) w(x) =
x5 + 12x4
4x3
90x2 + 149x
66; x0 =
3;
c) w(x) =
4x3 + 20x2 + 164x
180; x0 = 9;
d) w(x) = x6
14x4 + 49x2
36; x0 = 3;
e) w(x) = 5x4
145x2 + 500; x0 =
2;
f ) w(x) = x4
18x2 + 81; x0 = 3:
5.20.
Wiedz ¾
ac, ·
ze x0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu w, znajdź pozosta÷e pierwiastki tego wielomianu:
a) w(x) = x4 + 10x3 + 29x2 + 8x
48; x0 =
4;
b) w(x) = x5 + 14x4 + 24x3
350x2
1225x; x0 =
7;
c) w(x) = x5 + x4
14x3
6x2 + 45x
27; x0 = 1;
d) w(x) = x4
19x3 + 78x2 + 140x
200; x0 = 10;
e) w(x) = x6 + 10x5
14x4
260x3 + 109x2 + 1330x
1176; x0 =
7;
f ) w(x) =
x5 + 10x4
4x3
104x2 + 32x + 256; x0 =
2:
5.21.
Znajdź pierwiastki wielomianu w:
a) w(x) = x3 + (x
2)2
2x;
d) w(x) = x3
5x2 + 6x
2;
b) w(x) = x3
x2
x + 1;
e) w(x) = x3
2x2
19x + 20;
c) w(x) = x3
5x2 + 2x + 8;
f ) w(x) = x3 + 5x2 + 3x
9:
5
5.22.
Rozwi ¾
a·
z równanie:
a) x2 + 6x + 4 = 0;
d) (x4
16)(x2
x
2) = 0;
b) x3
x2
6x = 0;
e) x5
x4
2x3
8x2 + 8x + 16 = 0;
c) x4
5x2 + 4 = 0;
f )
2x5 + 10x4 + 24x3
64x2
64x + 96 = 0:
5.23.
Rozwi ¾
a·
z równanie:
a) (x
1)4(x + 2)2 = (x + 2)2;
d) (x
5)2(x
4)2 = 121x2
360x + 400;
b) (x + 4)2 = x2;
e) 2(x
6)(x
3) = (x + 1);
c) x3
7x + 6 = x + 3;
f ) 3(x + 2)(x
1)2 = (x + 2)2:
5.24.
Znajdź zbiór rozwi ¾
azań nierówności:
a) (x
3)(x
2)(5
x)
0;
d) x4
5x2 + 4 < 0;
b) (x
2)2(x
1) > 0;
e) x5
2x4
12x3 + 24x2 + 27x
54 < 0;
c) x3
6x2 + 11x
6
0;
f )
4x4 + 4x3 + 24x2 > 0:
5.25.
Znajdź zbiór rozwi ¾
azań nierówności:
a) 2x3
6x2
4x + 12 < 0;
d) x4 + 4x3
6x2
24x
0;
b) x5
21x4 +143x3
259x2
588x+1372 > 0;
e) 4x3 + 4x2
296x
576
0;
c) x5
5x4
2x3 + 10x2 + x
5 > 0;
f ) 6x4
18x3
18x2 + 54x
0:
5.26.
Wyznacz przedzia÷
y, w których wielomian w przyjmuje wartości ujemne, jeśli a) w(x) = x4 + 12x3
9x2
220x;
b) w(x) = x5
13x3 + 36x;
c) w(x) = x5 + 7x4
52x3
364x2 + 576x + 4032;
d) w(x) = (x
2)2 + (x
1)3 + x;
e) w(x) = (x + 6)2x(x
7)2;
f ) w(x) = (x + 3)3(x
4)(x + 7)2:
5.27.
Wyznacz przedzia÷
y, w których wielomian w przyjmuje wartości dodatnie, jeśli a) w(x) = x3
10x2
11x;
d) w(x) = (x
3x2)4;
b) w(x) =
4x5 + x4 + 36x3
9x2;
e) w(x) = (x2
1)3x;
c) w(x) = (x4
16)(x2
36);
f ) w(x) = (x + 5)x(x2
6)(x2
4)2:
Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner Odpowiedzi
5.1.
a) 2x2 + 16x
36
d) x4 + 20x3 + 135x2 + 208x
339
b) 8x3
68x2 + 208x
212
e) x4
x3 + 6x2
9x + 8
c) 7x2 + 82x
164
f ) 4x4 + 18x3
76x2
42x
5.2.
a) 2x3 + 3x2 + 15x + 7
b) 16x4 + 128x3 + 381x2 + 525x + 239
c) 2x7 + 378x5
x4 + 5674x3
6x2 + 10 210x
1
d) x3
3x2
10x + 30
e) 243x4
486x3 + 3x2 + 486x
243
f )
5x6 + x4 + 12x3 + x2
5
5.3.
a)
13x2
10x + 2
d) x9
3x7
7x6 + 15x5
x3
2
b)
2x4
5x3 + 3x2 + 3x
6
e) x6
12x4 + 45x2
18x
91
c) x6 + 2x5
x4
21x3 + 4x2 + 30x
16
f ) 16x6
16x5
40x4 + 80x3
55x2 + 11x
2
5.4.
a) 4x2 + 2x
1
c) x2 + x + 1
e) x2
9
b) 6x2
8x + 24
d) x3 + 3x2
f ) x2 + 5x
6
5.5.
a) [ 4; +1)
c) [ 1; +1)
e) [ 169 ; +
8
1)
b) ( 1; 61]
d) [8; +
f ) (
4
1)
1; 0]
5.6.
a) 2(x
3)(x + 4)
c)
(x
2)(x + 3)
e)
3(x
8)(x + 1)
b) 3(x + 6)(x
7)
d) 11(x
4)(x + 7)
f )
4(x
2)(x + 1 )
2
5.7.
a) ( 1; 3) [ (2; +1)
c) (0; 4)
e) ( 1; 4) [ (0; +1)
p
p
b) ( 1;
3 )
3 ; +
d) ( 1; 0)
f )
3
[ ( 3
1)
R
5.8.
a) n = 1;
N = 2
c) n =
16;
N = 0
e) n = 4; N = 5
b) n = 0;
N = 4
d) n =
2 1 ;
N = 0
f ) n = 0;
N = 4
4
5.9.
a) a = 1 ;
a = 1
c) a = 3
e) a =
2
4
p
p
b) a 6= 1;
a 6= 1
d) a 6=
2 ; a 6=
3
f ) a 6= 2; a 6= 2; a 6= 1
5.10.
a) x2 + x
12
d) x5
10x4 + 35x3
50x2 + 24x
b)
x3 + 10x2
16x
e) 2x2
3x
c) x2
7x
18
f ) 6x3 + 14x2
12x
7
5.11.
a) Tak
c) Nie
e) Tak
b) Nie
d) Tak
f ) Tak
5.12.
a) w(x) = (x
2)(x + 4)(6
x)
d) w(x) = x(x
10)(x + 5)(x
2)(x + 1)
b) w(x) = x(3
x)(x + 2)(9
x)
e) w(x) = (x2 + 4)(x
7)
c) w(x) = (x + 7)(2
x)(x
3)
f ) w(x) = x5
11x4 + 30x3 + x2
11x + 30
5.13.
a) Dla a 6= 1 stopień wielomianu w jest równy 3.
Dla a = 1 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 2.
Dla a = 1 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 0.
b) Dla a 6= 2 stopień wielomianu w jest równy 4: Dla a = 2 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 3: Dla a = 2 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 1.
c) Dla a 6= b stopień wielomianu w jest równy 4.
Dla a = b i a 6= 2 stopień wielomianu w jest równy 3: Dla a = b =
2 stopień wielomianu w jest równy 2:
d) Dla a 6= 0 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 2.
Dla a = 0 i b 6= 0 stopień wielomianu w wynosi 1: Dla a = 0 i b = 0 lub a 6= 0 i b = 0 stopień wielomianu w wynosi 0: e) Dla a = 1 lub a =
1 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 1.
Dla a 6= 1 i a 6= 1 i b 2 R stopień wielomianu w wynosi 2.
Dla a = 1 lub a =
1 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 0.
f ) Dla a 2 R i b 2 R wielomian w jest stopnia drugiego.
5.14.
a) w(x) = 3x2 + 5x
1
d) w(x) = 3x4
3x3 + 3x2
3x + 3
b) w(x) = 5x3 + x2
x + 1
e) w(x) = x5
1
c) w(x) = x2
2x + 3
f ) w(x) = (x
1)3
5.15.
Wielomian wn(x) jest stopnia 2n+1
1:
5.16.
a) 36
c) 1
e) 4
b) 65
d) 1
f ) 0
5.17.
a) a = 1;
b = 12;
c = 18
b) a = 6;
b = 9
c) a = 5;
b = 3
d) a = 2; b = 1
e) a =
3; b =
1 lub a = 1; b = 3
f ) a = 1; b = 5; c = 1 lub a = 5; b = 5; c = 15
Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.18.
a) 4
c)
64
e) 20
b)
1
d) 44
f ) 75
5.19.
a) x = 0; x = 3; x = 7
d) x =
3; x =
2; x =
1; x = 1; x = 2
b) x = 1; x = 2; x = 11
e) x =
5; x = 2; x = 5
c) x = 1; x =
5
f ) x =
3
5.20.
a) x =
3; x = 1
d) x =
2; x = 1
b) x =
5; x = 0; x = 5
e) x =
3; x = 1; x = 2; x = 4
c) x =
3; x = 3
f ) x = 2; x = 4; x = 8
p
p
p
p
5.21.
a) x =
5
1;
x =
5
1;
x = 1
d) x = 1;
x = 2
2;
x = 2 +
2
b) x = 1;
x =
1
e) x = 1;
x =
4;
x = 5
c) x = 4;
x =
1;
x = 2
f ) x =
3; x = 1
p
p
5.22.
a) x =
5
3;
x =
5
3
d) x =
2;
x =
1;
x = 2
b) x = 3;
x =
2;
x = 0
e) x =
1; x = 2
c) x =
2;
x = 2;
x =
1;
x = 1
f ) x = 1; x = 6; x = 2; x =
2
5.23.
a) x = 2; x = 0; x =
2
d) x = 18; x = 0
b) x =
2
e) x = 7;
x = 52
p
p
p
p
c) x = 1
5 + 3 ; x = 3
1
5; x =
3
f ) x = 1
37 + 7 ; x = 7
1
37; x
2
2
2
2
2
6
6
6
6
5.24.
a) [2; 3] [ [5; +1);
d) ( 2;
1) [ (1; 2);
p p
b) (1; 2) [ (2; +1);
e) ( 1; 3) [ (
3;
3) [ (2; 3);
c) ( 1; 1] [ [2; 3];
f ) ( 2; 0) [ (0; 3) :
p
p
5.25.
a)
1;
2 [
2; 3
c) (5; 1)
e) [ 8;
2] [ [9; 1)
p
p
p
p
b) ( 2; 2) [ (7; 1)
d)
4;
6 [ 0; 6
f )
3; 0 [
3; 3
5.26.
a) ( 11;
5) [ (0; 4)
d) ( 1; 1)
b) ( 1; 3) [ ( 2; 0) [ (2; 3)
e) ( 1; 6) [ ( 6; 0)
c) ( 1; 7) [ ( 6; 4) [ (4; 6)
f ) ( 3; 4)
5.27.
a) ( 1; 0) [ (11; 1)
d) ( 1; 0) [ 0; 1
;
3
[ 13 1
b) ( 1; 3) [ 1; 3
e) ( 1; 0)
4
[ (1; 1)
p
p
c) ( 1; 6) [ ( 2; 2) [ (6; 1)
f )
6;
2 [ ( 2; 0) [ ( 1; 5) [
6; 1