Wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Maria Małycha

Zadania na plusy

Wielokąty wpisane w okrąg

i opisane na okręgu

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 1

licz pole tego trapezu.

Dany jest okrąg o promieniu 11 cm. Przez punkt P

Zadanie 10

odległy od środka okręgu o 5 cm poprowadzono cię-

a) Długości podstaw trapezu są równe 6 cm i 4 cm.

ciwę o długości 20 cm. Wyznacz długości odcinków,

Kąty ostre trapezu mają miary 30◦ i 60◦. Oblicz wy-

na które punkt P podzielił cięciwę.

sokość tego trapezu i jego pole.

Zadanie 2

b) Oblicz pole trapezu, którego boki równoległe mają

Udowodnij, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają

długość 9 cm i 6 cm, a ramiona 5 cm i 4 cm.

się w jednym punkcie.

Zadanie 11

WSKAZÓWKA: Rozpatrz odległość punktu prze- Podstawy trapezu mają długości 8 cm i 4 cm. Ob-cięcia dwóch dwusiecznych od boków trójkąta.

licz długość odcinka równoległego do nich i dzielącego

Zadanie 3

pole trapezu na połowy.

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt stycz-

Zadanie 12

ności okręgu z przeciwprostokątną podzielił ją na od-

Jedna z podstaw trapezu jest średnicą okręgu na nim

cinki długości 6 i 9. Oblicz pole trójkąta oraz promień

opisanego, promień okręgu jest równy 5 cm, a wyso-

okręgu wpisanego w ten trójkąt.

kość trapezu 4 cm. Oblicz obwód trapezu.

Zadanie 4

Zadanie 13

Okrąg o promieniu 1 cm jest wpisany w trójkąt rów-

W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest

noramienny o podstawie 4 cm. Oblicz długość ramie-

dwa razy dłuższa od drugiej. Przekątna trapezu jest

nia trójkąta.

dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Oblicz dłu-

Zadanie 5

gości boków trapezu, wiedząc, że jego pole jest równe

Znajdź środek i promień okręgu opisanego na trójką-

9 cm2. Ile jest równe pole koła opisanego na tym tra-

cie ABC, jeśli:

pezie?

a) A = (

Zadanie 14

−3, −1), B = (11, −1), C = (−1, 5)

b) A = (−3, −2), B = (5, 2), C = (−1, 4)

Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem 60◦.

c) A = (−3, 3), B = (5, −1), C = (9, 3)

Oblicz pole koła opisanego na tym prostokącie, jeśli:

d) A = (

a)

−4, −2), B = (0, −4), C = (8, 4)

krótszy bok prostokąta ma długość 6 cm,

Zadanie 6

b) dłuższy bok prostokąta ma długość 6 cm.

Ile jest równe pole koła wpisanego w trójkąt powstały

Zadanie 15

w wyniku podzielenia kwadratu o boku 1 jego prze-

Dany jest kwadrat K1 o boku 4 cm. Jaka jest skala

kątną?

podobieństwa między kwadratami K1 i K2, jeśli:

Zadanie 7

a) obwód kwadratu K2 jest równy 12 cm,

Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego

b) przekątna kwadratu K2 ma długość 6 cm,

do długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt

c) pole koła opisanego na kwadracie K2 wynosi

równoramienny o podstawie długości 4 cm i ramieniu

16π cm2.

długości 3 cm.

Zadanie 16

Zadanie 8

Oblicz pole koła, jeśli pole kwadratu wpisanego w to

Boki trójkąta są równe 7, 24, 25. Oblicz promienie

koło jest mniejsze od pola koła o 100 cm2.

okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 17

Zadanie 9

a) Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny

Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny.

jest równy 2. Oblicz pole tego sześciokąta.

√

Długość krótszej podstawy trapezu równa się 5 r. Ob-

b) Pole sześciokąta foremnego jest równe 54 3. Ile

4

Wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Maria Małycha

Zadania na plusy

jest równe pole koła wpisanego w ten sześciokąt?

Zadanie 18

Ile jest równy promień okręgu wpisanego w ośmiokąt

foremny o boku 1? Odpowiedź uzasadnij.

A) r = 1 ctg45◦ B) r = 1 ctg30◦ C) r = 1 ctg22◦300

2

2

2

Zadanie 19

Dany jest dwunastokąt foremny o boku a i polu P.

Promień okręgu opisanego na nim jest równy R, a

promień okręgu wpisanego w niego jest równy r. Ma-

jąc daną jedną wielkość, oblicz trzy pozostałe.

a) a = 6 cm

b) R = 4 cm

c) r = 2 cm

d) P = 12 cm2

WSKAZÓWKA: Skorzystaj z tego, że

√

ctg15◦ = 2 +

3.