( xα) 0 = α xα− 1
( ex) 0 = ex
( ax) 0 = ax ln a (ln x) 0 = 1 x
(log a x) 0 = 1
x ln a
(sin x) 0 = cos x (cos x) 0 = − sin x ( tg x) 0 =
1
cos2 x
( ctg x) 0 = − 1
sin2 x
( arcsin x) 0 =
1
√ 1 −x 2
( arccos x) 0 = −
1
√ 1 −x 2
( arctg x) 0 =
1
1+ x 2
( arcctg x) 0 = − 1
1+ x 2
( sh x) 0 = ch x
( ch x) 0 = sh x
( th x) 0 =
1
ch 2 x
( cth x) 0 = − 1 .
sh 2 x
Wzory na całki
R 0 dx = C
R xα dx = xα+1 + C, α 6= − 1
α+1
R 1 dx = ln |x| + C
x
R ax dx = ax + C
R
ln a
ex dx = ex + C
R sin x dx = − cos x + C
R cos x dx = sin x + C
R
1
dx = −ctg x + C
(sin x)2
R
1
dx = tg x + C
(cos x)2
R
1
dx = arctg x + C
x 2+1
R
1
√
dx = arcsin x + C
1 −x 2
R shx dx = chx + C
R ch x dx = shx + C
R
1
dx = th x + C
R ch 2 x
1
dx = −cth x + C
sh 2 x
1
Z
dx = ln |x − a| + C
x − a
Z
dx
1
=
+ C, k 6= 1
( x − a) k
(1 − k)( x − a) k− 1
Z
dx
1
x − p
= √ · arc tg √
+ C
( x − p)2 + q
q
q
Całki z funkcji niewymiernych.
Z
dx
x − p
p
= arcsin √
+ C,
−( x − p)2 + q
q
Z
( x − p)2
q
x − p
x − p p
p
dx =
arcsin √
−
−( x − p)2 + q + C,
−( x − p)2 + q
2
q
2
Z p
q
x − p
x − p p
−( x − p)2 + q dx =
arcsin √
+
−( x − p)2 + q + C, 2
q
2
Z
dx
p
p
= ln |( x − p) +
( x − p)2 + q| + C, ( x − p)2 + q
Z
( x − p)2
x − p p
q
p
p
dx =
( x − p)2 + q −
ln |x − p +
( x − p)2 + q| + C, ( x − p)2 + q
2
2
Z p
x − p p
q
p
( x − p)2 + q dx =
( x − p)2 + q +
ln |x − p +
( x − p)2 + q| + C, 2
2
2