Definicja 1. Przestrzeń metryczna ( X, d) jest (ciągowo) zwarta, gdy każdy ciąg ( xn) elementów X ma podciąg zbieżny.
Przykłady
1. Każda przestrzeń skończona jest zwarta.
2. Odcinek [0 , 1] jest zwarty (lemat Bolzano-Weierstrassa) i ogólniej każdy odcinek na R jest zwarty.
3. R nie jest zwarta
4. N nie jest zwarta w naturalnej metryce
Definicja 2. Zbiór K ⊂ X jest zwarty, gdy ( K, d) jest przestrzenią zwartą.
Równoważnie, K jest zwarty, gdy każdy ciąg ( xn) elementów K ma podciąg zbieżny do elementu K.
Stwierdzenie 1. Zwarty podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest domknięty.
Dowód. Niech ( xn) będzie ciągiem elementów zwartego zbioru K zbieżnym do pewnego x ∈ X. Ten ciąg ma podciąg zbieżny w K, ale z jedyności granicy musi on być zbieżny do x, czyli x ∈ K.
Stwierdzenie 2. Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Jeśli ( xn) jest ciągiem w K, to ma podciąg zbieżny w X. Ale z domkniętości K
jego granica należy do K.
Stwierdzenie 3. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony.
Dowód. Przypuśćmy, że A nie jest ograniczony. Skonstruujemy ciąg ( xn) elementów A, który nie ma podciągu zbieżnego.
Wybierzmy dowolny x 1 ∈ A. Kula K( x 1 , 1) nie zawiera całego A, więc istnieje x 2 ∈
A \ K( x 1 , 1). Suma K( x 1 , 1) ∪ K( x 2 , 1) nie zawiera całego A, bo mielibyśmy diam( A) ¬
d( x 1 , x 2) + 2. Zatem znajdujemy x 3 ∈ A \ ( K( x 1 , 1) ∪ K( x 2 , 1)). Mamy d( xi, xj) 1
dla i, j = 1 , 2 , 3, i 6= j. Indukcyjnie mając x 1 , x 2 , ..., xn rozmieszczone w odległościach przynajmniej 1, znajdujemy xn+1 ∈ A \ S ni=1 K( xi, 1). W ten sposób znajdujemy ciąg taki, że d( xi, xj) 1 dla i, j ∈ N, i 6= j. Ten ciąg nie ma podciągu zbieżnego, bo żaden podciąg nie spełnia warunku Cauchy’ego.
Stwierdzenie 4. Produkt dwóch zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
Dowód. Standardowe metryki dają równoważność: ( xn, yn) jest zbieżny do ( x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x i yn → y. Zatem jeśli ( xn) ma podciąg zbieżny xn i ( y ) ma k
nk
podciąg zbieżny ( yn ), to ( x
y
) jest podciągiem zbieżnym ciągu ( x
k
n
n
n, yn).
l
kl
kl
Wniosek 1. Produkt skończenie wielu zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
Wniosek 2. [ a
n
1 , b 1] × ... × [ an, bn] jest zwarty w R .
1
n
R
jest zwarty w metryce euklidesowej wtedy i tylko wtedy,
gdy jest domknięty i ograniczony.
Dowód. Wiemy już, że zbiór zwarty jest zawsze domknięty o ograniczony.
Niech K ⊂
n
R
będzie ograniczony. Wtedy K zawiera się w pewnej kuli K(0 , r) ⊂
[ −r, r] ×...×[ −r, r]. Ponieważ ten produkt jest zwarty, a domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty, mamy tezę.
Uwaga. Domkniętość i ograniczoność nie gwarantuje zwartości w dowolnych przestrze-
niach! Przykład: X = (0 , 1) jest ograniczona i domknięta w sobie, ale nie jest zwarta, bo 1 nie ma podciągu zbieznego.
n
Twierdzenie 2. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.
(Ale nie na odwrót, np.R)
Dowód. Niech ( xn) będzie ciągiem Cauchy’ego. Ze zwartości, ( xn) ma podciąg zbieżny. Ale ciąg Cauchy’ego mający podciąg zbieżny sam jest zbieżny.
Definicja 3.
1. Przestrzeń X jest całkowicie ograniczona, gdy dla każdego > 0 istnieje skończona rodzina kul {K( xi, ) : i = 1 , ..., n} taka, że X ⊂ S ni=1 K( xi, ).
2. Zbiór F ⊂ X nazywamy -siecią, gdy dla każdego x ∈ X istnieje y ∈ F taki, że d( x, y) < .
Stwierdzenie 5. Przestrzeń metryczna X jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera skończoną -sieć.
Dowód. ( ⇐) Prosty rachunek
( ⇒) Środki kul tworzą skończoną -sieć.
Uwaga. Przestrzeń całkowicie ograniczona jest ograniczona, bo jej średnica jest mniejsza niż n, gdy X ⊂ S n
i=1 K ( xi, ). Ale odwrotnej implikacji nie ma, bo np. odcinek [0 , 1] z metryką dyskretną jest ograniczony, ale nie całkowicie ograniczony.
Stwierdzenie 6. Przestrzeń całkowicie ograniczona jest ośrodkowa.
Dowód. Dla każdego n znajdujemy 1 -sieć F
n
n. Zbiór S ∞
n=1 Fn jest ośrodkiem.
Twierdzenie 3. Każda przestrzeń zwarta jest całkowicie ograniczona, więc ośrodkowa.
Dowód. Przypuśćmy, że X nie jest całkowicie ograniczona. Tzn. istnieje > 0 taki, że każda -sieć jest nieskończona. Wybieramy x 1. {x 1 } nie jest -siecią, więc istnieje punkt x 2
taki, że d( x 1 , x 2) . Niech {x 1 , ..., xn} będzie zbiorem punktów, w którym każda para różnych punktów spełnia d( xi, xj) . To nie jest -sieć więc możemy wybrać xn+1 odległy od każdego elementu o przynajmniej . Znów wybieramy indukcyjnie ciąg, który nie ma podciągu zbieżnego.
Uwaga. Odwrotna implikacja nie zachodzi. (0 , 1) jest całkowicie ograniczony, ale nie jest zwarty.
Twierdzenie 4. Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.
2
Dowód. Wiemy już, że zwartość implikuje dwie pozostałe własności.
Na odwrót, weźmy dowolny ciąg ( xn). Wybieram podciąg Cauchy’ego w następujący sposób:
1. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 1 wybieramy kulę E 1, w której jest nieskończenie wiele elementów xn i wybieramy xn 1
2. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 1 wybieramy E
2
2 taką, że E 2 ∩ E 1 zawiera
nieskończenie wiele elementów xn i wybieramy xn ∈ E
2
1 ∩ E 2
3. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 1 wybieramy E
3
3 taką, że E 3 ∩ E 2 ∩ E 1
zawiera nieskończenie wiele elementów xn itd
Ciąg ( xn ) jest Cauchyego, bo ogon x
należy do kuli E
. Z zupełności
k
nk
k o promieniu 1
k
przestrzeni, ten podciąg jest zbieżny.
3