Przekształcenia elementarne macierzy
Definicje
Przekształceniem elementarnym lub operacją elementarną na macierzy nazywamy: 1. Zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy albo dwóch dowolnych kolumn.
2. Mnożenie przez liczbę różną od zera wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny).
3. Dodawanie do wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiadających im (stojących na tych samych miejscach) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez tę samą liczbę różną od zera.
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez operacje elementarne to mówimy, że A i B są macierzami równoważnymi i zapisujemy A ~ B.
Przykład
4
7
−1 2
Macierz M = 3 5
4
1 przekształcamy następująco:
2 −1
0
3
Zamieniamy miejscami wiersz drugi i wiersz trzeci, otrzymujemy (nowe wiersze za-znaczamy ‘); piszemy w ’
’
2 = w3, w3 = w2; otrzymujemy macierz M1. Mnożąc wiersz pierwszy przez -3, piszemy w1’ = -3w1, macierzy M1 otrzymujemy macierz M2.
4
7
−1 2
−12 − 21 3 − 6
M
2
−
2
−
1 =
1
0
3 , M2 =
1
0
3 .
3
5
4
1
3
5
4
1
Do wiersza drugiego dodamy wiersz trzeci pomnożony przez 5 (zapis w2’= w2 +5w3):
−12 − 21 3
− 6
M3 = 17
24
20
8 .
3
5
4
1
Macierze M, M1 , M2 , M3 są wzajemnie równoważne.
Podobne operacje można wykonywać na kolumnach macierzy.
Operacje elementarne wykorzystujemy przy rozwiązywaniu układów równań linio-wych, o czym będzie mowa w kolejnych paragrafach kursu.
1
Ujęcie poglądowe
_________________________________________________________________________
4
7
−1 2
Macierz M = 3 5
4
1 (z przykładu powyżej) można przekształcać wykonując
2 −1
0
3
operacje elementarne, aby otrzymać macierz zero - jedynkową (której wyrazami są 0 lub 1).
W tym celu wybierzmy kolumnę k2. Mnożymy ją przez 2 i dodajemy do kolumny k1; symbolicznie k1’ = k1 + 2k2. Kolumnę k2 mnożymy przez 3 i dodajemy do kolumny k3. Otrzymujemy:
18
7
−1 2
3
M1 = 13 5
4
16 .
0
−1 0
0
Wiersz w3 mnożymy przez 5 i dodajemy do wiersza w2; wiersz w3 mnożymy przez 7 i dodajemy do wiersza w1. Otrzymujemy:
18
0
−1 2
3
M2 = 13 0
4
16 .
0
−1 0
0
Dalej wykonujemy operacje: k1’ = k1 + 18k3 ; k4’ = k4 + 18k3 otrzymujemy:
0
0
−1 0
M3 = 85 0
4
10
8 .
0
−1 0
0
Następnie wykonujemy operacje:
108
1
w2’ = w2 + 4k1 ; k4’ = k4 −
k1 ; k1’ =
k1 ; k3’ = − k3 ; k2’ = − k2 .
85
85
0 0 1 0
Otrzymujemy M4 = 1 0 0 0 .
0 1 0 0
Przestawiając wiersze macierzy M4 doprowadzimy tę macierz do postaci:
1 0 0 0
M4 = 0 1 0 0 , w której pionową linią wydzielono podmacierz jednostkową I3
0 0 1 0
stopnia 3. Liczbę 3 nazywa się rzędem macierzy M.
2
_________________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_____________________________________________________________
Twierdzenie
Każdą niezerową macierz wymiaru m x n za pomocą skończonego ciągu operacji ele-mentarnych można przekształcić w równoważną jej macierz zero – jedynkową postaci:
I
I
0
A
r
r
m x n = [ I
lub A
I
0 lub A
lub A
,
r ]
m x n = [ r
]
m x n =
m x n =
0
0
0
gdzie Ir jest macierzą jednostkową stopnia r, zaś 0 macierzą zerową. Kreskami piono-wymi, poziomymi wyróżniliśmy podmacierze macierzy Am x n .
Definicja
Stopień macierzy jednostkowej Ir występującej w macierzy zero – jedynkowej postaci
I
I
0
A
r
r
m x n = [ I
lub A
I
0 lub A
lub A
nazywamy
r ]
m x n = [ r
]
m x n =
m x n =
0
0
0
rzędem macierzy Am x n .
Rząd macierzy Am x n oznaczamy R( Am x n) lub krótko R(A). Piszemy R(A) = r.
Twierdzenie
Rząd macierzy niezerowej Am x n jest liczbą spełniającą warunek: 1 ≤ R( Am x n) ≤ min (m, n ), gdzie min (m, n ) jest niewiększą z liczb m, n.
Ćwiczenia
1. Dane są macierze:
2
−1 0
3 2
3 − 2
a) [ ]
3 , b)
, c)
, d) 4
4
6 ,
4 3
4
1
− 3
7
5
2
3
4
1
0
2
1
3
7
6
5
e)
3
4
−1 3 5, f) 1 5
9
, g) [2 3 5 −1 0 4
]8.
2 − 5
3
2
7
0 − 2 −
3
6
4
2
Doprowadź każdą z nich do postaci zero – jedynkowej oraz wyznacz jej rząd.
3