x
E ⋅ ε
⋅
lim
s
cu2
200000 0 0035
,
ξ
= 0 8
, ⋅
= 0 8
, ⋅
= 0 8
, ⋅
= 0,53
ef ,lim
d
E ⋅ ε
+ f
200000 ⋅ 0 0035
,
+ 356,5
s
cu2
yd
Przyjęto przekrój słupa o parametrach: b x h = 40 x 40 cm ,
a = a = 5cm ,
1
2
N
=
76
,
3342
kN ,
Ed
f
=
9
,
17 MPa ,
cd
f
= 356,5MPa .
yd
WYMIAROWANIE ZBROJENIA SŁUPA – PRZEKRÓJ SYMETRYCZNIE ZBROJONY
Założenia:
A = A = A = ?
s1
s2
s
Wyznaczamy mimośród całkowity e = etot: o wg Metody Nominalnej Krzywizny
e
= e + e + e
tot
0
1
2
e - mimośród dodatkowy od niedoskonałości konstrukcji; 0
l
0
h
3570 400
e = max
;
;20 mm = max
;
;20 mm = max
=
0
{8 13
;
93
,
;
33
,
20
}
mm
20 mm
400 30
400 30
e - mimośród wynikający z obliczeń statycznych, od obciążeń zewnętrznych, e = 0 ; 1
1
e - mimośród II – ego rzędu, e = 4 64
,
mm
2
2
Stąd mimośród całkowity od efektów I-ego i II-ego rzędu wyniesie: e
= e + e + e = 20mm + 0 + 4 64
,
mm = 24 64
,
mm = 464
,
2
cm
tot
0
1
2
o Wg Metody Nominalnej Sztywności
M
=
36
,
91
kNm - sumaryczny moment od efektów I-ego i II-ego rzędu.
Ed
MEd
36
,
91
Wiedząc, że: M
= N ⋅ e → e =
=
= 0 0273
,
m = 73
,
2
cm
Ed
Ed
tot
tot
N
76
,
3342
Ed
Zatem mimośród e wyniesie: e = 5
.
0 ⋅ h − a + e
= 5
.
0 ⋅ 40 − 5 + 73
,
2
=
73
,
17
cm
s1
s1
1
tot
2 ⋅ 1
( − ξ )
Rozpatrujemy przypadek MAŁEGO MIMOŚRODU, zatem: ξ
< ξ ≤ ,
1
κ
ef
=
−1
ef ,lim
ef
s
1 − ξef,lim
• wtedy, e < d → e =
73
,
17
cm < d = 30 cm
s1
s
s1
s
• Sprawdzamy czy kryterium RS czy SS
fcd
es1 ≥ ds −
⋅ b ⋅ xef,0 ⋅(0,5xef,0 − a2 ) wtedy RS
N
jeżeli
Ed
es1 ≤ − f
d
cd
s
⋅ b ⋅ xef,0 ⋅(0,5xef,0 − a2 ) wtedy SS
N Ed
fcd
79
,
1
Zatem: d −
⋅ b ⋅ x
⋅
−
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
− =
s
ef ,0
(0,5x
a
ef ,0
2 )
30
40 26 76
,
(0,5 26 76
,
5)
20
,
25
cm
N
76
,
3342
Ed
Ponieważ: e
zatem należy rozpatrzyć kryterium SS
s1 =
73
,
17
cm <
20
,
25
cm →
• Wyznaczamy x
:
ef ,0
x
= ξ ⋅ d, ξ = 5
,
0 ⋅ +
=
⋅
ef ,0
0
0
(1 ξef,lim), x
ξ
d
ef ,lim
ef ,lim
x
= ξ
⋅ d = 53
,
0
⋅35 =
55
,
18
cm, x
= 5
,
0 ⋅
+
=
⋅
+
=
ef ,lim
ef ,lim
ef ,0
(d xef,lim) 5,
0
(35
55
,
18
)
76
,
26
cm
• Wyznaczenie pola przekroju zbrojenia: N
⋅ e − f ⋅ b ⋅ x
⋅ −
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
Ed
1
s
cd
ef ,0
(d 0,5 xef,0)
76
,
3342
17 73
,
79
,
1
40 26 76
,
(35 0,5 26 76
,
)
A = A
=
=
s
s2
f ⋅ d
65
,
35
⋅ 30
yd
s
2
A = A
= 16 68
,
cm
s
s2
Ponieważ założone pole przekroju zbrojenia jest mniejsze od wymaganego, należy zwiększyć ilość zbrojenia i przeprowadzić kolejną iterację:
1. Obliczenie momentu II-ego rzędu (metoda nominalnej sztywności) lub mimośrodu II-ego rzędu (metoda krzywizny nominalnej);
2. Wymiarowanie zbrojenia lub sprawdzenie nośności.
Obliczenia dla As1=As2=18,85cm2
W projekcie przyjęto zbrojenie symetryczne As1 = As2= 6#20 = 18,85 cm2
Obliczenia sztywności i momentu całkowitego z uwzględnieniem momentu II-ego rzędu (METODA NOMINALNEJ
SZTYWNOŚCI) PRZY ZAŁOŻENIU A =18,85
S
CM2
Sprawdzenie stopnia zbrojenia:
A
2 ⋅18 85
,
ρ
s
=
=
= 0 024
,
> 0 002
,
A
40 ⋅ 40
c
Wyznaczamy względną siłę podłużną:
N
334 ,
2 76
n =
Ed
=
= 1,
1 7
A
f
c ⋅
40
cd
⋅ 40 ⋅ ,179
Obliczenie wartości współczynników k1 i k2: f
25
k =
ck
=
= 1,
1 2
1
20
20
λ
31
k = n ⋅
= 1
,
1 7 ⋅
= ,
0 213 > ,
0 20 , zatem przyjmujemy k = , 0 2
2
170
170
2
Wyznaczamy efektywny współczynnik pełzania ϕ : ef
M 0 Eqp
41 8
, 4
ϕ
ϕ
t
ef =
( ,
∞ ) ⋅
= 6
,
2 5 ⋅
= 6
,
1 6
0
M
66 8
, 6
0 Ed
Obliczenie wartości współczynników Ks i Kc: k ⋅ k
1
,
1 2 ⋅ ,
0 2
K
K
s =
,
0
,
1
1
2
c =
=
= 0
,
0 842
1+ ϕ
1
ef
+ 6
,
1 6
Wyznaczamy obliczeniową wartość modułu sprężystości betonu- E : cd
E
31 5
,
E
cm
=
=
= 2 ,
6 25 GPa
cd
γ
,
1 2
CE
Obliczamy wartości momentów bezwładności: 3
3
b ⋅ h
40 ⋅ 40
4
I =
=
= 213333 3
, 3 cm
c
12
12
2
h
40
4
I = 2 ⋅ A
⋅
− a = 2⋅ 85
,
18
⋅
− 5 =
5
,
8482 cm
s
1
s
1
2
2
Sztywność nominalna wyniesie:
2
EI = K ⋅ E
I
⋅ +K ⋅E ⋅I = 0 0842
,
⋅2625⋅213333 33
,
+ 0
,
1 ⋅ 20000 ⋅
,
8482 5 = 216689992 7
, kNcm
c
cd
c
s
s
s
Wyznaczamy siłę krytyczną ze względu na wyboczenie: π2 ⋅ EI
π2 ⋅
7
,
216689992
N =
=
=
4
,
16780 kN
B
l2
3572
0
Wyznaczenie całkowitego momentu zawierającego moment II-ego rzędu: 2
Przyjęto:
= π
β
= ,
1 234
8
β
234
,
1
M
= M
⋅ 1 +
= 66 86
,
⋅ 1
+
= 87,4 kNm
Ed
0Ed
N
16780,4
B − 1
−1
N
76
,
3342
Ed
Wymiarowanie słupa
x
E ⋅ ε
⋅
lim
s
cu2
200000 0 0035
,
ξ
= 0 8
, ⋅
= 0 8
, ⋅
= 0 8
, ⋅
= 0,53
ef ,lim
d
E ⋅ ε
+ f
200000 ⋅ 0 0035
,
+ 356,5
s
cu2
yd
Przyjęto przekrój słupa o parametrach: b x h = 40 x 40 cm ,
a = a = 5cm ,
1
2
N
=
76
,
3342
kN ,
Ed
f
=
9
,
17 MPa ,
cd
f
= 356,5MPa .
yd
Wymiarowanie zbrojenia słupa – przekrój symetrycznie zbrojony Założenia:
A = A = A = ?
s1
s2
s
e = e + (0,5 ⋅ h − a )
s1
1
MEd
87,4kNm
e =
=
= 0
m
02615
,
= 62
,
2
cm
N
76
,
3342
Ed
e = 62
,
2
+ (0,5⋅ 40 − )
5 = 17 62
, cm
s1
2 ⋅ 1
( − ξ )
Rozpatrujemy przypadek MAŁEGO MIMOŚRODU, zatem: ξ
< ξ ≤ ,
1
κ
ef
=
−1
ef ,lim
ef
s
1 − ξef,lim
• wtedy, e < d → e =
62
,
17
cm < d = 30 cm
s1
s
s1
s
• Sprawdzamy czy kryterium RS czy SS (?)
fcd
es1 ≥ ds −
⋅ b ⋅ xef,0 ⋅(0,5xef,0 − a2 ) wtedy RS
N
jeżeli
Ed
es1 ≤ − f
d
cd
s
⋅ b ⋅ xef,0 ⋅(0,5xef,0 − a2 ) wtedy SS
N Ed
• Wyznaczamy x
:
ef ,0
= ξ ⋅ d, ξ = 5
,
0 ⋅ +
=
⋅
ef ,0
0
0
(1 ξef,lim), x
ξ
d
ef ,lim
ef ,lim
x
= ξ
⋅ d = 53
,
0
⋅35 =
55
,
18
cm, x
= 5
,
0 ⋅
+
=
⋅
+
=
ef ,lim
ef ,lim
ef ,0
(d xef,lim) 5,
0
(35
55
,
18
)
8
,
26 cm
fcd
79
,
1
Zatem: d −
⋅ b ⋅ x
⋅
−
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
− =
s
ef ,0
(0,5x
a
ef ,0
2 )
30
40 26 8
,
(0,5 26 8, 5)
2
,
25 cm
N
76
,
3342
Ed
e
zatem należy rozpatrzyć kryterium SS
s1 =
62
,
17
cm <
2
,
25 cm →
• Wyznaczenie pola przekroju zbrojenia: N
⋅ e − f ⋅ b ⋅ x
⋅ −
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
Ed
s1
cd
ef ,0
(d 0,5 xef,0)
76
,
3342
17 62
,
79
,
1
40 26 8
,
(35 0,5 26 8,)
A = A
=
=
s
s2
f ⋅ d
65
,
35
⋅30
yd
s
2
A = A
= 16 32
,
cm
s
s2
Wniosek: założone zbrojenie w ilości As1=As2=18,85cm2 jest wystarczające.
Sprawdzenie nośności słupa dla założonego wcześniej pola przekroju zbrojenia As = 6#20 = 18,85 cm2.
Wg Metody Nominalnej Sztywności
M
=
4
,
87 kNm - sumaryczny moment od efektów I-ego i II-ego rzędu.
Ed
MEd
87,40
Wiedząc, że: M
= N ⋅ e → e =
=
= 0 0262
,
m = 62
,
2
cm
Ed
Ed
N
76
,
3342
Ed
e = e − ( 5
,
0 ⋅ h − a ) ⇒ e = e + ( 5
,
0 ⋅ h − a )
s1
1
s1
1
e = 62
,
2
+ ( 5
,
0 ⋅ 40 − )
5 =
cm
62
,
17
s1
e
= (d − e ) − a = 35 −
62
,
17
− 5 =
4
,
12 cm
s2
s1
2
Równanie 3b) wg algorytmu z wykładu prof. Roberta Kowalskiego f ⋅ b ⋅ x ⋅
⋅
− −
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
cd
ef
(0,5 xef (d es1) f A e κ f A e
0
yd
s2
s2
s
yd
s1
1
s
2 ⋅ 1
( − ξ )
Rozpatrujemy przypadek MAŁEGO MIMOŚRODU, zatem: ξ
< ξ ≤ ,
1
κ
ef
=
−1
ef ,lim
ef
s
1 − ξef,lim
2 ⋅ 1
( − ξ )
2 ⋅ 1
( − ξ )
2 − 2ξ
x
ef
ef
ef
eff
ξ
= 0,53,
κ =
−1 =
−1 =
−1 = 4 255
,
−1 − 4 255
,
⋅
=
ef ,lim
s
1 − ξ
1 − 0,53
0,47
d
ef ,lim
x eff
= 3 255
,
− 4 255
,
⋅
= 3 26
,
− 0 12
,
⋅ xeff
35
79
,
1
⋅ 40 ⋅ x ⋅
⋅
−
−
−
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ef
( 5,
0
x ef (35
62
,
17
))
65
,
35
85
,
18
4
,
12
26
,
3
(
12
,
0
x )
65
,
35
85
,
18
62
,
17
0
ef
Po uporządkowaniu i rozwiązaniu powyższego równania otrzymuje się: x ef
33 83
,
x
= 33 83
,
cm ⇒ ξ =
=
= 0 967
,
ef
ef
d
35
Sprawdzenie założenia 0,53 < 0 967
,
< 1 założenie spełnione! (MAŁY MIMOŚRÓD) Ze wzoru 2) RRS:
N
= f ⋅ x ⋅ b + A ⋅ f − κ ⋅ A ⋅ f
Rd
cd
ef
s2
yd
s
1
s
yd
κ = 26
,
3
− 12
,
0
⋅ x = 26
,
3
− 12
,
0
⋅
83
,
33
= − 800
,
0
s
eff
N
= 79
,
1
⋅ 33 83
,
⋅ 40 +18 85
,
⋅
65
,
35
− −
⋅
⋅
Rd
( 0 800
,
) 18 85
,
65
,
35
N
=
8
,
3631 kN
Rd
N Ed
76
,
3342
Wykorzystanie nośności słupa:
=
= 0 92
,
N
8
,
3631
Rd
WYZNACZENIE MIMOŚRODU e PRZY DANEJ SILE NED (WG ALGORYTMU Z WYKŁADÓW PROF. KOWALSKIEGO)
Dane:
Słup o wymiarach przekroju: b x h = 40 x 40 cm , a = a = 5cm ,
1
2
N
=
76
,
3342
kN ,
Ed
f
=
9
,
17 MPa ,
cd
f
= 356,5MPa .
yd
Wyznaczamy ξ
:
ef ,lim
x
E ⋅ ε
200000 ⋅ ,
0 0035
ξ
= 8
,
0
lim
⋅
= 8
,
0
s
cu 2
⋅
= 8
,
0 ⋅
= 5
,
0 3
ef ,lim
d
E ⋅ ε
+ f
200000 ⋅ ,
0 0035 + 356 5
,
s
cu 2
yd
2 ⋅ 1
( − ξ )
Rozpatrujemy przypadek MAŁEGO MIMOŚRODU, zatem: ξ
< ξ ≤ ,
1
κ
ef
=
−1
ef ,lim
ef
s
1 − ξef,lim
2 ⋅ 1
( − ξ )
2 ⋅ 1
( − ξ )
2 − 2ξ
x
ef
ef
ef
eff
ξ
= 0,53,
κ =
−1 =
−1 =
−1 = 4 255
,
−1 − 4 255
,
⋅
=
ef ,lim
s
1 − ξ
1 − 0,53
0,47
d
ef ,lim
x eff
= 3 255
,
− 4 255
,
⋅
= 3 26
,
− 0 12
,
⋅ xeff
35
d = h − a = 40 − 5 = 35cm
1
Zapisujemy równania równowagi sił i momentów w przekroju:
R.R.S.
N
= η⋅ f ⋅ x ⋅ b + A ⋅ f − κ ⋅ A ⋅ f
Ed
cd
ef
s 2
yd
s
1
s
yd
R.R.M.
x
ef
N
⋅ e = η⋅ f ⋅ x ⋅ b ⋅d −
+ A ⋅ f ⋅ d
Ed
1
s
cd
ef
s 2
yd
s
2
Z równania równowagi sił wyznaczamy x : ef
R.R.S.
N
= η⋅ f ⋅ x ⋅ b + A ⋅ f − κ ⋅ A ⋅ f
Ed
cd
ef
s 2
yd
s
1
s
yd
334 ,
2 76 = ,
1 0 ⋅ ,
1 79 ⋅ x ⋅ 40 + 18 8
, 5 ⋅ 3 ,
5 65 − ,
3 26 − 1
,
0 2 ⋅ x
⋅18 8
, 5 ⋅ 3 ,
5 65
ef
(
ef )
334 ,
2 76 = 7 ,
1 6 ⋅ x
+ 672 − 219 ,
0 7 + 8 ,
0 6 ⋅ x
ef
ef
7 ,
1 6 ⋅ x
+ 8 ,
0 6 ⋅ x
= 4861 5
,
ef
ef
15 ,
2 2 ⋅ x
= 4861 5
,
ef
x
= 31 9
, cm
ef
Sprawdzamy poprawność założenia:
x
31 9
,
ef
ξ =
=
= 9
,
0 11, założenie poprawne ponieważ: 5
,
0 3 < ξ
= 9
,
0 11 ≤ ,
1 0 .
ef
d
35
ef
Z równania równowagi momentów wyznaczymy mimośród e : 1
s
R.R.M.
x
ef
N
⋅ e = η⋅ f ⋅ x ⋅ b ⋅ d −
+ A ⋅ f ⋅ d − a
Ed
1
s
cd
ef
s2
yd
(
2 )
2
9
,
31
76
,
3342
⋅ e = 0
,
1 ⋅ 79
,
1
⋅ 9
,
31 ⋅ 40 ⋅ 35 −
+ 18 85
,
⋅
65
,
35
⋅
−
s1
(35 5)
2
e = 19 0
, cm
s1
Wyznaczamy mimośród całkowity e :
tot
e
= e −
⋅ −
tot
1
s
( 5,
0
h
a1 )
e
= 1 ,
9 0 −
⋅
− =
tot
( 5,
0
40
5)
,
4 0 cm
Nośność słupa wyniesie:
M
= N ⋅ e = 334 ,
2 76 ⋅ ,
0 04 = 13 ,
3 7 kNm
Rd
Ed
tot
M
= 87,4kNm < M = 13 ,
3 7 kNm - warunek spełniony.
Ed
Rd