Porównano wskazania suwmiarki cyfrowej o rozdzielczości 0,01 mm i błędzie granicznym
±0,03 mm z płytką wzorcową o długości (100,00015 ±0,00005) mm, czyli dokonano wzorcowania. W zapisie wyniku wartości długości płytki wzorcowej podana jest niepewność rozszerzona na poziomie ufności 0,95. Obliczyć:
• błąd bezwzględny suwmiarki,
• wartość poprawki,
• niepewność rozszerzoną wyznaczenia tej poprawki na poziomie ufności 0,95.
jeżeli w czasie wzorcowania wskazanie suwmiarki wynosiło 100,00 mm.
ROZWIĄZANIE
Błąd bezwzględny suwmiarki
l
∆ = l − l ,
s
w
gdzie: ls – wynik długości wskazany przez suwmiarkę podczas wzorcowania, lw – wartość wzorcowa długości (płytki wzorcowej).
∆ l = 100 0
, 0 mm −100 0
, 0015 mm = −0,00015 m
m .
Ponieważ rozdzielczość suwmiarki wynosi 0,01 mm, wartość błędu zaokrąglamy do drugiego miejsca po przecinku, czyli
∆ l = 0,00 m
m .
Oznacza to, że błąd ma określoną wartość do drugiego miejsca po przecinku i w tym zakresie jest ona zerowa. Na dalszych miejscach po przecinku wartość błędu jest nieokreślona.
Poprawka na wskazanie poprawki
p( l) = −∆ l = 0,00 m
m .
Poprawka jest wartością, którą dodaje się do odczytanego wyniku w celu otrzymania wartości poprawnej. Nie można dodawać do wskazania suwmiarki wartości poprawki, której nie można odczytać na polu odczytowym suwmiarki. Czyli wartość poprawki powinna być zaokrąglona do możliwości odczytu z suwmiarki. Stąd p( l) = −∆ l = 0,00 m m . Zerowa
poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności.
Niepewność standardową tej poprawki możemy określić dwoma sposobami.
Sposób I
Ponieważ l
∆ = l − l , to niepewność standardowa tej poprawki s
w
u[ p( l)] = u 2 ( l + u 2 l , w )
( s )
gdzie: u( l - niepewność standardowa wartości wzorca (długości płytki wzorcowej), w )
u( l - niepewność standardowa odczytu z suwmiarki.
s )
Niepewność standardowa wartości wzorca
u(
U l
l
=
.
w )
( w)
k p
W zapisie wartości płytki wzorcowej podano, że niepewność rozszerzona na poziomie ufności 0,95 wynosi 0,00005 mm bez określenia typu rozkładu. Jeżeli założylibyśmy rozkład normalny, to
u( l =
=
.
w )
0 0
, 0005 mm
0 0
, 00025 mm
2
Niepewność standardowa odczytu z suwmiarki
u(
l
l
=
.
s )
od s
3
Błąd odczytu ∆ odls jest rwny rozdzielczości, czyli ∆ odls = ±0,01 mm. Ma on rozkład prostokątny i prawdopodobieństwo wystąpienia wartości -0,01 mm, 0 mm, +0,01 mm jest identyczne. Zatem
u( l =
=
.
s )
0 0
, 1 mm
0 0
, 0578 mm
3
czyli
u[ p( l)]
2
= u ( l +
=
+
.
w )
2
u ( ls )
2
2
0 0
, 00025
0 0
, 0578
Pierwszy składnik pod pierwiastkiem jest dużo mniejszy od drugiego, zatem niepewność standardowa wyznaczenia poprawki
u[ p( l)] = 0 0
, 0578 mm .
Niepewność rozszerzona wyznaczenia wartości poprawki U [ p( l)] = k u
,
p
[ p( l)]
gdzie kp jest współczynnikiem rozszerzenia.
Rozkład hipotetycznych błędów w granicach niepewności U [ p( l)] jest splotem dwóch rozkładów: jednego związanego z niepewnością wyznaczenia poprawnej wartości długości płytki wzorcowej i drugiego związanego z rozdzielczością suwmiarki. Ponieważ dominujący składnik, związany z rozdzielczością suwmiarki, ma rozkład prostokątny, to wypadkowy rozkład będzie też prostokątny. Zatem dla rozkładu prostokątnego na poziomie ufności P=0,95 współczynnik rozszerzenia
k = P 3 = 0 9
, 5 ⋅1 7
, 3 = 1 6
, 4 .
p
A więc niepewność rozszerzona wyznaczenia poprawki U [ p( l)] = 1 6
, 4 ⋅ 0 0
, 0578 mm = 0,0095 ≅ 0,01 mm .
Wartość niepewności rozszerzonej zaokrągliliśmy do możliwości odczytu z suwmiarki.
Wynik wyznaczenia poprawki na poziomie ufności 0,95 możemy zapisać w postaci: p( l) = (0,00 ±0,01) mm.
Sposób II
Niepewność rozszerzoną poprawki można obliczyć prościej. Ponieważ dominującym składnikiem niepewności jest składnik związany z rozdzielczością odczytu z suwmiarki, a niepewność wartości długości płytki wzorcowej jest tak mała, że można ja pominąć, to U [ p( l)] = P ⋅ ∆ l .
od s
Na poziomie ufności P=0,95
U [ p( l)] = 0 9
, 5⋅ 0 0
, 1 mm = 0 0
, 95 mm ≅ 0 0
, 1 mm .
Uzyskaliśmy taki sam wynik niepewności rozszerzonej jak sposobem I, a zapis wyniku poprawki wskazania suwmiarki ma taką sama postać jak poprzednio, t.zn.: p( l) = (0,00 ±0,01) mm.
Poprawka, a zatem i błąd bezwzględny, powinna się mieścić w granicach dopuszczalnych błędów podanych przez producenta, czyli podanego błędu granicznego
±0,03 mm. Warunek ten jest spełniony.
Prof. Michał Lisowski