Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2013/2014

1. [7 p. ] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz



1 1

1



A =  0 x

1







1 1 x + 2

jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A− 1 przyjmując x = − 2.

[2 p. ] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz diagonalna nieosobliwa B stopnia 3.

Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze AT B 3 i AT AB− 1. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7 p. ] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań



x



1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = 5



2 x 1 + 3 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 2





4 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 7

[2 p. ] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min( m, n) ­ 3, z których jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi obliczeniami.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7 p. ] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych względem prostej l o równaniu



x = 1 − t





y = − 2 + t , t ∈ R,





z = − 2 t

[2 p. ] b) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(1 , 3 , 0), B(2 , 4 , 5) i C(3 , 5 , − 1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [5 p. ] a) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie

√

(1 − i) z 3 + i 69(1 −

3) = 0

[4 p. ] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę I

dz

,

( z 2 + 9)2

C

gdzie C jest krzywą o równaniu |z − 2 i| = 2 zorientowaną dodatnio. Wykonać rysunek krzywej C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

3 s 2 − 7 s + 10

F ( s) = s 3 − 3 s 2 + s + 5

wiedząc, że s = − 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.

[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f ( t) = sin t.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [ dla chętnych] [4 p. ] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór

7 π

z ∈ C : |iz − 2 | ¬ 6 , Arg z < 6