Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 9
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
A.
− 32 = −9
2.
C.
1
1
1 1
5
4
6
12
5
4
6
4 6
12
5 5 =
+
5 5 = 5
= 5 = 5
3.
A.
log
−
=
=
=
=
3 (log 30
log 3)
30
log log
log log10
log 1
0
3
3
3
3
4.
B.
x − 4 < 7 ⇔ x − 4 < 7 ∧ x − 4 > 7
− ⇔ x < 11∧ x > −3 ⇔ x ∈ (− , 3 1 )
1
5.
C.
W ( x)
2
= x ( x + 5)− (
3 x + 5) = ( x + 5)( 2
x − 3) = ( x + 5)( x − 3)( x + 3) 6.
C.
W (− )
3 = −6 − (− 3)2 − (− 3)3 = 6
− − 9 + 27 = 12
7.
D.
x ⋅ x − ( x + )
1 ( x − )
1
1
W =
x( x
)
=
−1
x( x − )
1
8.
A.
(
2
2 + 4) = 2 2 + 24 + 48 2 + 64 = 88 + 50 2
9.
C.
D : 20 − 4 x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 , zatem największą liczbą całkowitą naleŜącą do dziedziny funkcji jest liczba 5 .
10.
A.
y = ( x + 3)( x − 5) 2
⇒ y = x − 2 x −15
11.
C.
f ( x + )
5 = (
3 x + 5) + 8 ⇒ f ( x + ) 5 = 3 x + 23, zatem wartość funkcji wzrasta o 15 .
12.
B.
a = −1 ,
1 r = 4 ⇒ a
= 1
− 1+ 39 ⋅ 4 = 145
1
40
13.
B.
Ciąg z przykładu B jest ciągiem arytmetycznym o dodatniej róŜnicy.
14.
D.
n 1
−
1
1
a = −1 ,
8 q = − ⇒ a
n =
1
− 8 ⋅−
1
3
3
15.
C.
Dla kaŜdego kąta ostrego α spełniony jest warunek 0 < sin α < 1.
16.
C.
Druga przyprostokątna ma długość 2 6 < 5 , zatem najmniejszy kąt leŜy naprzeciwko przyprostokątnej o długości 2 6 .
17.
D.
Przeciwprostokątna trójkąta ma długość 2 r = 12 , więc przyprostokątne mają długości 6 i 6 3 .
1
A.
BO
BO − 6
=
⇒ BO = 24
20
15
19.
C.
1
a 2 = 4 ⇒ a = 2 2 ⇒ P = 8 −
⋅ π
8
⇒ P = 8 − π
2
4
20.
B.
KaŜdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od ramion tego kąta.
21.
C.
Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.
22.
B.
Okrąg o środku S = ( a, b) i promieniu r ma równanie ( x − a)2 + ( x − b)2
2
= r .
23.
B.
3
4
a
a
l =
, k = −
4
3
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania zadania
punktów
24.
1
1
1
1
Wyznaczenie potęg: x = 5 − ⋅ 9 + 27 −
− 9 .
3
3
3
Obliczenie liczby x : x = 20 .
1
25
Zapisanie przyprostokątnych trójkąta za pomocą jednej 1
niewiadomej: a, b = a 3 .
UłoŜenie i rozwiązanie równania:
1
1 a ⋅ a 3 = 2 3 ⇒ a = ,2 b = 2 3 .
2
26.
Uzasadnienie, Ŝe liczba jest podzielna przez 3 : suma liczb 1
podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3 .
Uzasadnienie, Ŝe liczba jest podzielna przez 2 : suma parzystej 1
liczby liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
27.
Zapisanie trójmianu w postaci kanonicznej: 1
f ( x) = 2( x − 5)2 −10 .
Obliczenie f 1
(
)
5 : f 1
( )
5 = 2 ⋅102 −10 ⇒ f 1
( )
5 = 190 .
1
2
Przekształcenie lewej strony wzoru przez wyciągnięcie przed 1
nawias wspólnego czynnika w liczniku i mianowniku ułamka: cosα (
2
1 − cos α )
L =
.
sin α (
2
1 − sin α )
Wykorzystanie jedynki trygonometrycznej do wykazania tezy 1
cosα sin 2 α
sin α
zadania: L =
=
= tgα = P .
sin α cos2 α
cosα
29.
Wyznaczenie długości boków trójkąta:
1
AB = 45, AC = 90, BC = 45 .
2
2
2
Wykazanie tezy zadania: AB + BC = AC .
1
30.
Wprowadzenie oznaczeń:
1
V , t – rzeczywista prędkość i czas turysty i zapisanie równia: Vt = 24 .
Vt = 24
1
Zapisanie układu równań: (
.
V + ,
1 2)( t − )
1 = 24
Doprowadzenie układu do równania z jedną niewiadomą: 1
2
− V − ,12 V + 28 8
, = 0 .
Rozwiązanie równania: V =
,
8
,
4
V = −6 .
1
1
2
Zapisanie odpowiedzi: V =
,
8
,
4
t = 5 .
1
31.
Wprowadzenie oznaczeń lub wykonanie rysunku z 1
oznaczeniami:
a, b = 2 a – odpowiednio krawędź podstawy i krawędź boczna ostrosłupa,
H , h – odpowiednio wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
α – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Wyznaczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa w zaleŜności 1
a
od a : h =
15 .
2
15
1
Wyznaczenie cosinusa kąta α : cosα =
.
15
3
Zapisanie równania wynikającego z treści 1
1
a
zadania: 4 ⋅ a ⋅
15 = 36 15 .
2
2
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: a = , 6 b = 12 .
1
32.
Zapisanie liczby kul w urnie:
1
n – liczba kul białych,
2 n – liczba kul zielonych,
n
3 – liczba kul czerwonych
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń 1
=
elementarnych: Ω = 6 n ⋅ (6 n − ) 1 .
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń 1
elementarnych sprzyjających zdarzeniu, Ŝe wylosowano dwie
=
kule zielone: A = 2 n ⋅ (2 n − ) 1 i wyznaczenie
2 n −1
prawdopodobieństwa zdarzenia A : P( ) A = (
.
3 6 n − )
1
(2 n − )1 5
1
Zapisanie równania: (
=
.
3 6 n − )
1
51
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: n = 3 .
1
4