POCHODNE

GRANICE POD. WYRAŻEŃ ( x-_>0)

Funkcja Pochodna

Uwagi

1

lim  x1 x =e x-->(+/-)∞

c

0

c<=>R

sinx

x

lim

= 1

1

x

lim 1  = e x

xa

axa-1

a<=>R

tgx

x

lim

= 1

a

x

lim 1  = ea x

ax

axlna

a>0, x<=>R

arcsinx

lim

= 1

x

ex

ex

x<=>R

arctgx

lim

= 1

x

logax

1/xlna

0<a≠1, x>0

lim ex−1 = 1

x

lnx

1/x

x>0

ln x 1

lim

= 1

x

sinx

cosx

x<=>R

lim ax−1 = lna x

cosx

-sinx

x<=>R

log 1 x 

1

lim

a

=

x

lna

tgx

1/ 2

cos x

x≠90

Lim  x1 a−1 = a x

ctgx

-(1/ 2

sin x)

x≠180

arcsinx

1/√ 2

1-x

x<=>(-1;1)

arccosx

-(1/√ 2)

1-x

x<=>(-1;1)

arctg

1/ 2

1+x

x<=>R

arcctg

-(1/ 2

1+x )

x<=>R

<=> - należy.

∫ 0dx=C

1

∫ eax b dx =

eax b +C, a≠0

a

∫ dx=x+C

∫ ex = ex +C

1

dx

∫ xdx=

x 2 +C

2

∫

dx = arctanx +C

1 x 2

1

dx

1

∫ xn dx=

xn1 +C, n≠0

n

∫

arctan (ax+b)+C, a≠0

1

1 ax b2 dx = a 1

dx

1

x

∫

dx=ln|x|+C

x

∫

dx =

arctan

+C, a≠0

a 2 x 2

a

a

1

1

dx

1

a x

∫

dx = -

+C

∫

dx =

ln ∣

∣ +C, a>0 i |x|≠0

x 2

x

a 2− x 2

2a

a− x

f '  x 

dx

1

∫

dx = ln|f(x)|+C

∫

dx =

ln|ax+b|+C, a≠0

f  x 

ax b

a

2

dx

1

∫  x dx =

x

3

 x +C

∫

+C

 ax  b2 dx = - a  ax b 

dx

1

∫

dx = 2  x +C

∫

dx = -cotx +C

 x

sin2 x

a

1

∫ (ax+b)dx =

x 2 +bx+C

2

∫

dx = tgx +C

cos2 x

1

∫ sinxdx = -cosx +C

∫  ax b n dx=

 ax b n1 +C, a≠0, n≠-1

a  n1

2

∫ cosxdx = sinx +C

∫  ax b dx=

 ax b

3a

 ax b +C, a≠0

1

2

1

∫

dx = -

 ax b +C, a≠0

∫ sin(ax+b)dx = -

cos(ax+b) +C, a≠0

 ax b

a

a

dx

1

1

∫

arcsin

sin(ax+b) +C, a≠0



dx =

 ax  b C , a≠0

∫ cos(ax+b)dx =

1− ax b2

a

a

dx

1

1

−1

∫

ln



dx =

 ax b ax b21 , a≠0 ∫

dx =

cot(ax+b) +C , a≠0

1 ax b2

a

sin2 ax b

a

1

1

1

∫

dx =

tg(ax+b) +C , a≠0



dx =arcsinx+C, a≠0

∫

1− x 2

cos2 ax b

a

1

∫ arctgxdx= xarctgx - ln

∫

 x 21 +C



dx =ln(x+  x 21 ) +C

1 x 2

1

∫

+C, m≠1 i a≠0



dx =ln|x+  x 2−1 |+C, |x|>1

∫ max b dx= max b x 2−1

alnm

1

∫

+C, m≠1 i m>0



dx =ln|x+  x 2− a 2 |+C, a≠0

∫ mx dx= mx x 2− a 2

lnm

1

x

∫lnxdx= xlnx -c +C

∫ 

dx =arcsin

+C, a>00

a 2− x 2

a