(ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji)
na 3
Rozwi¹z
(ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji)
58
a W chwili zerwania siê nitki na gumkê przesta³a dzia³aæ si³a doœrodkowa.
Wiadomo z I zasady dynamiki, ¿e gdy na cia³o, które posiada ju¿ jak¹œ prêd-koœæ, przestaje dzia³aæ si³a, to cia³o takie porusza siê dalej z osi¹gniêt¹ prêdko-
œci¹, w tym przypadku styczn¹ do okrêgu.
Gdyby na gumkê nie dzia³a³a si³a ciê¿koœci, to gumka porusza³aby siê dalej ruchem jednostajnym po linii prostej.
b Gumka nie zachowa swojej sta³ej prêdkoœci; opadnie na ziemiê. Bêdzie ulegaæ zmianie zarówno kierunek jej prêdkoœci, jak i wartoœæ (bêdzie wzrastaæ).
Jest tak dlatego, ¿e dzia³a na ni¹ si³a ciê¿koœci i nadaje ona gumce przyspieszenie ziemskie (II zasada dynamiki).
59
Cia³o wykonuj¹ce ruch jed-
rodzaj si³y stanowi¹cej si³ê
Ÿród³o si³y doœrodkowej
nostajny po okrêgu
doœrodkow¹
naci¹g nitki (si³a sprê¿ystoœci
kulka zaczepiona na nitce
nitka
nitki)
nacisk szyn (si³a sprê¿ystoœci
tramwaj na zakrêcie
szyny
szyn)
samochód na zakrêcie
si³a tarcia
pod³o¿e
(pod³o¿e poziome)
Ksiê¿yc na orbicie
si³a grawitacji
Ziemia
Ziemia w ruchu wokó³
si³a grawitacji
S³oñce
S³oñca
elektron w atomie wodoru
si³a elektryczna
j¹dro atomu (proton)
60
a Prawdziwe s¹ tylko zdania 1. i 4.
b Komentarz do zdania 2. Wiemy z doœwiadczenia, ¿e im bardziej ostry za-krêt, tym wiêksza si³a doœrodkowa musi dzia³aæ na kolarza. Jeœli na ostrym za-182
3
krêcie na kolarza nie bêdzie dzia³aæ dostatecznie du¿a si³a doœrodkowa, to kolarz mo¿e zjechaæ z zakrêtu lub mo¿e siê przewróciæ.
Komentarz do zdania 3. Si³ê doœrodkow¹ w ruchu cia³a po okrêgu stanowi zawsze wypadkowa wszystkich si³, dzia³aj¹cych na to cia³o, a nie jedna znich.
Mo¿e siê zdarzyæ, ¿e ¿adna z si³ sk³adowych nie jest zwrócona do œrodka okrê-
gu, a ich wypadkowa jest tak zwrócona (np. na karuzeli z krzese³kami wisz¹-
cymi na ³añcuchach lub prêtach).
61
a Jest to mo¿liwe. Gdy szybkoœæ wirowania tortownicy nie jest zbyt du¿a, to aby krasnoludek porusza³ siê ruchem jednostajnym po okrêgu (tzn. pozosta-wa³ nieruchomy wzglêdem tortownicy) wystarczy ma³a si³a doœrodkowa, któr¹ stanowi si³a tarcia.
b Przy wiêkszej szybkoœci wirowania tarczy, na krasnoludka musia³aby dzia³aæ wiêksza si³a doœrodkowa. Jeœli takiej si³y nie bêdzie, to krasnoludek zacznie „zje¿d¿aæ z okrêgu” po którym siê porusza³, tzn. bêdzie siê oddala³ od osi obrotu; w koñcu oprze siê o œciankê.
c W przypadku a Ÿród³em si³y doœrodkowej jest pod³o¿e (dno tortownicy), a si³¹ t¹ jest si³a tarcia spoczynkowego. Gdy krasnoludek dotknie œcianki bocz-nej, to Ÿród³em si³y doœrodkowej jest ta œcianka; ona naciska na krasnoludka.
Si³a ta jest prostopad³a do œcianki, tzn. zwrócona do œrodka okrêgu.
62
r
r F
a
wyp
a =
, zatem cia³o wykonuj¹ce ruch jednostajny po okrêgu posiada m
przyspieszenie o takim kierunku i zwrocie, jak si³a doœrodkowa, tzn. zwrócone do œrodka okrêgu. Dlatego nosi ono nazwê przyspieszenia doœrodkowego.
b Przyspieszenie doœrodkowe jest zwi¹zane ze zmian¹ tylko jednej cechy wektora prêdkoœci, a mianowicie ze zmian¹ kierunku wektora prêdkoœci (kierunek prêdkoœci zmienia siê, wiemy bowiem, ¿e prêdkoœæ w ruchu po okrêgu jest w ka¿dym punkcie styczna do toru).
c Przyspieszenie w ruchu po linii prostej mo¿e byæ zwi¹zane tylko ze zmian¹
wartoœci prêdkoœci cia³a, bo w tym ruchu kierunek prêdkoœci nie ulega zmianie.
183
(ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji)
63
a Zgodnie z trzeci¹ zasad¹ dynamiki, jeœli kula o masie m dzia³a na kulê r
2
o masie m si³¹ F , to kula o masie m dzia³a na kulê o masie m si³¹ o takiej sa-1
1
1
2
mej wartoœci, tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie.
Si³a ta ma punkt zaczepienia w œrodku kuli o masie m .
2
m × m
2
m m
b F '= F '= F
1
2
=
= G 1 2
2
=2 F ; wartoœæ si³y wzroœnie 2 razy.
1
2
1
r 2
r 2
m × m
1
m m
1
c F ''= F ''= F = G 1
2 = × G 1 2 = F ; zmaleje 4 razy.
1
2
2
( r 2
)
4
r 2
2
4
d Jeœli odleg³oœæ miêdzy kulami maleje, wartoœæ si³y wzajemnego oddzia-
³ywania wzrasta i kule bêd¹ siê zbli¿aæ do siebie ruchem niejednostajnie przy-spieszonym ze wzrastaj¹cym przyspieszeniem.
64 Cia³a o takiej samej masie m na ró¿nych planetach maj¹ ró¿ne ciê¿ary zgodnie ze zwi¹zkiem:
M
× m
planety
F = G
.
c
R 2 planety
O tym jaki jest ciê¿ar cia³a na danej planecie decyduje wiêc iloraz masy tej planety M
i kwadratu jej promienia R
:
planety
planety
M planety .
R 2 planety
65 Aby odpowiedzieæ na wszystkie pytania wystarczy skorzystaæ z ostatniej kolumny tabeli:
a na Marsie,
b na Plutonie, najgorszy wynik na Jowiszu,
c na Urana.
184
3
66
a
Odleg³oœæ cia³a od œrodka
Odleg³oœæ cia³a od
Wartoœæ si³y grawitacji
Ziemi
powierzchni Ziemi
R
F
0
Z
g
1
2 R
F
R
Z
4 g
Z
1
3 R
F
2 R
Z
9 g
Z
1
4 R
F
3 R
Z
16 g
Z
b
F
Fg
1 Fg
2
1 Fg
4
0
R
2 R
3 R
x
Z
Z
Z
zakres 200-800 km
5
4
c Si³a grawitacji przyjmuje wartoœci od oko³o
F do oko³o
F .
6 g
6 g
185
(ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji)
67
a Wartoœæ si³y doœrodkowej jest w tym przypadku odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia orbity, wiêc na satelitê na orbicie o 2 razy mniejszym promieniu dzia³a si³a doœrodkowa o 4 razy wiêkszej wartoœci.
b Z wzoru wynika, ¿e na satelitê o 2 razy wiêkszej masie na tej samej orbicie dzia³a si³a doœrodkowa o 2 razy wiêkszej wartoœci.
c Jeœli mnianownik wzroœnie 9 razy, to aby wartoœæ u³amka pozosta³a taka sama – licznik musi byæ tak¿e 9 razy wiêkszy, wiêc satelita poruszaj¹cy siê po orbicie o 3 razy wiêkszym promieniu musi mieæ 9 razy wiêksz¹ masê.
68
a Si³ê doœrodkow¹ stanowi w tym przypadku si³a grawitacji, G M m
m 2
u
G M
I
=
,
sk¹d
u =
.
R 2
R
I
R
b
G M m = mg , sk¹d G M = gR 2 .
R 2
G M
g R 2
u =
=
,
u = g R .
I
R
R
I
c R oznacza³oby promieñ Marsa, a g oznacza³oby wartoœæ przyspieszenia swobodnego spadania na Marsie („przyspieszenia marsowego”).
d
g
g
u = R × = 0,
×
272 R × = 0,
×
0453 R × g ,
I K
K
Z
Z
6
6
km
u = 0 0453
,
× R × g »0 2
, ×
1
=0, ×
21 7 9
,
,
I K
Z
u I Z
s
km
u
»1 7
,
.
I K
s
186
3
Otrzymany wynik to wartoœæ prêdkoœci, z jak¹ porusza³by siê po okrêgu satelita Ksiê¿yca niedaleko od jego powierzchni. Z tak¹ szybkoœci¹ nale¿a³oby na Ksiê¿ycu wyrzuciæ dowolne cia³o poziomo, aby zosta³o ono satelit¹ Ksiê¿yca.
e
2p R
×
6,28 1733 km
×
6,28 1733
T
K
=
=
u
,
T »
s ,
km
1,7
I K
1,7 s
T » 6402 s=1,78 h .
187