Pole elektryczne na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni ładunkiem powierzchniowym
SG
r
q
S
s
E
O
R
Q
q
2
2
=
= π
= π −
s
; S
4 R ; SG 4 r ia
powierzchn Gaussa S
Ponieważ wszędzie na powierzchni Gaussa jest E = const, zatem SG
2
Φ = Ed =
d
E S = E d S = ES =
⋅ π
G
E 4 r
∫ S ∫
∫
SG
SG
0
Φ
Q
= εε0
2
E ⋅ 4π
Q
r = εε
0
2
Q
1
q S
1
q 4π
2
s
s
R
1
s
q R
E =
=
=
2
2
2
2
4πεε
=
0 r
4πεε0 r
4πεε0 r
εε0 r
Dla r = R
s
q
E = εε
0
Wnętrze kuli: E = 0 (brak ładunków) oraz ϕ( r) = const dla r ≤ R
dϕ
Q
1
E = −gradϕ = −
= 0 ⇒ ϕ =
= const
d r
4πεε
0 R
Zewnętrze kuli:
2
r ≥ R, S ≠ S (
oraz powierzchnia
G r) i S = 4π R
2
Gaussa S (
obejmuje całą kulę z ładunkiem G r) > S = 4π R
2
π
2
Q
1
s
q S
1
s
q 4 R
1
s
q R
E =
=
=
2
2
2
2
4πεε
=
0 r
4πεε0 r
4πεε0 r
εε0 r
Potencjał na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni ładunkiem powierzchniowym q
2
2
s R
qs
1
qs
2
R
ϕ = − E d r = −
d r = −
R
d r =
+ C
∫
∫
2
εε
0
εε0
∫
r
r 2
εε0 r
Ponieważ dla r = ∞ ϕ = 0, zatem C = 0, bo 0 = 0 + C
Stąd
q
2
s R
Q
1
ϕ = εε
=
0 r
4πεε0 r
To samo, ale inaczej
r
r
r
q
2
s R
q
2
1
ϕ − ϕ∞ = −
= −
= −
=
r
E r
d
r
s
d
R
r
d
∫
∫εε
∫
0 r 2
εε0
r 2
∞
∞
∞
q
r
2
s
2
1
2 1
1
1
= −
R (− )
qs
=
R ( − ) qs R
Q
εε
=
=
0
r ∞
εε0
r
∞
εε0 r
4πεε0 r
Ponieważ potencjał w nieskończoności: ϕ∞ = 0 oraz ϕ = ϕ, zatem r
q
2
s R
ϕ = εε0 r
Dla r = R
q
2
s R
qs
Q
1
ϕ =
=
R
εε
=
0 R
εε0
4πεε0 R
E,
E
qs
R
0
r
Rozkłady natężenia pola i potencjału dla kuli naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową q s