programowania
liniowego.
kaŜdego
zadania
programowania
liniowego
nazywanego
zagadnieniem
pierwotnym
lub prymalnym
moŜna
sformułować
odpowiadające
mu
zagadnienie dualne.
Zagadnienie prymalne i dualne tworzą
sprzęŜoną parę zagadnień dualnych
względem siebie.
Przy konstruowaniu zagadnień dualnych obowiązują następujące zasady:
1. maksymalizacji
wartości
funkcji
celu
zagadnienia
prymalnego
(PP)
odpowiada
minimalizacja wartości funkcji celu zagadnienia dualnego (PD)
2. prawe strony ograniczeń
występujących w
problemie pierwotnym są współczynnikami przy zmiennych w funkcji celu problemu dualnego
3. współczynniki przy zmiennych w funkcji celu PP tworzą prawe strony ograniczeń PD
4. macierz
współczynników
PD
jest
transponowaną
macierzą
A
współczynników PP
5. warunkowi ograniczającemu w postaci nierówności w PP odpowiada w PD
nieujemna zmienna decyzyjna (tzw.
zmienna dualna)
6. warunkowi ograniczającemu w postaci
równania w PP odpowiada zmienna
dualna nie określona co do znaku
(przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste)
7. nieujemnej zmiennej decyzyjnej PP
odpowiada w PD warunek ograniczający
w postaci nierówności typu „nie mniejsze”
8. zmiennej decyzyjnej nie określonej co do znaku w PP odpowiada w PD warunek
ograniczający w postaci równania
9. w PD jest tyle zmiennych ile nierówności w ograniczeniach w PP
10. w PD jest tyle warunków ograniczających ile zmiennych w PP
Do przestawienia PP i PD zastosujemy zapis macierzowy.
PP ma postać:
PD ma postać:
T
FC: Z = c x → MAX
ˆ
T
Z = b y → MIN
O: Ax ≤ b
T
A y ≥ c
WB: x ≥ 0
y ≥ 0
Między rozwiązaniami PP i PD zachodzą ścisłe związki. MoŜna bowiem udowodnić następujące twierdzenie o dualności: Problem pierwotny ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy problem dualny ma rozwiązanie oraz
ˆ
Z
=
max
Z min
Z twierdzenia o dualności wynikają następujące wnioski:
1. na podstawie rozwiązania jednego z problemów (pierwotnego lub dualnego)
moŜemy otrzymać rozwiązanie drugiego
problemu
2. ma ono duŜe znaczenie praktyczne, bo czasami łatwiej jest rozwiązać problem dualny
Twierdzenie o komplementarności podaje zaleŜność między rozwiązaniami PP i PD:
JeŜeli
x i
y są odpowiednio rozwiązaniami optymalnymi PP i PD, to zachodzi związek: T
T
y (b-Ax) = 0
( T
x
A y-c) = 0
Twierdzenie równowadze: JeŜeli j-ty warunek PD jest w optymalnym rozwiązaniu (chociaŜ jednym) spełniony z ostrą nierównością, to odpowiadająca mu j-ta zmienna x w optymalnym rozwiązaniu j
PP przyjmuje wartość zero.
JeŜeli zmienna y jest większa od zera w j
rozwiązaniu optymalnym PD, to odpowiadające jej j-te ograniczenie w PP jest ograniczeniem równościowym.
JeŜeli i-ty warunek PP jest w optymalnym rozwiązaniu (chociaŜ jednym) spełniony z ostrą nierównością, to odpowiadająca mu i-ta zmienna w optymalnym rozwiązaniu PD przyjmuje i
y
wartość zero.
JeŜeli zmienna jest większa od zera w i
x
rozwiązaniu
optymalnym
PP,
to
odpowiadające jej i-te ograniczenie w PD
jest ograniczeniem równościowym.