Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

Z



2

2

1 

Z

i = X i + Y

i

i

≅ χ(2) ≅ wykl 

2

σ

 2 

P(

Z

Z

t

min( Z ,..., Z

n ) < t )









=

1

P min

,..., n

1





 ≤

2

2

2 

 =



 σ

σ 

σ 





tn

Z

Z 

t 

−

=

2

n

1 −

1

n

2

2

2

2

Pmin

,...,

 >

1 e σ

min X

Y ,..., X

Y

wykl

2

2

2 

 = − 2 →

( 1 + 1

n +

n )





≅







 σ

σ 

σ 



2

2 σ 

min( ...,..., ...) = min(...)

3

 3 

∞

nx

α =

Γ 

−

2

2

2

ODP = ∫

n

2

2

n

 2 

1

2 σ

σ Π ⋅ 2

σ Π

2

x

e σ dx =

=

=

Π

=

=

2

2

2 σ

n

2 σ  n  ,15

2

n

4 n

2 n

0

β =

2





2 σ



2

2 σ 

Zadanie 2

1.0=varA+varB+varC+2cov(A,B)+2cov(B,C)+2cov(A,C) 2.0=varA+var(B+C)+2cov(A,B+C)

3.0=varB+var(A+C)+2cov(B,A+C)

A,B,C,A+C,B+C – mają odpowiednio hipergeometryczne rozkłady Z tego:

10 2 30 −12

144

var A = 12 ⋅

= var B = var C =

30 3

29

87

20 1 30 −12

var( A + B) = 12 ⋅

= var( A + C) = var( B + C) = var A 30 3

29

144

144

2 : 0 = 2 ⋅

+ 2cov( ,

A B) + 2 cov( ,

A C) → cov( ,

A C) = −

− cov( ,

A B)

87

87

144

144

3 : 0 = 2 ⋅

+ 2cov( B, )

A + 2 cov( B, C) → cov( B, C) = −

− cov( ,

A B)

87

87

144

 144



144

144

72

1 : 0 = 3 ⋅

+ 2cov( ,

A B) + 4 −

− cov( ,

A B) = −

− 2cov( ,

A B) → cov( ,

A B) = −

= −

87



87



87

2 ⋅ 87

87

72 87

1

ODP = −

= −

87 144

2

Zadanie 3

Można wypisać: (1,2,3,4) (1,2,3,5) (1,2,3,6) (1,2,4,5) (1,2,4,6) (1,2,5,6) (1,3,4,5) (1,3,4,6) (1,3,5,6) (1,4,5,6) (2,3,4,5) (2,3,4,6) (2,3,5,6) (2,4,5,6) (3,4,5,6) Jest 15 przypadków, z tego:

15

6 1

6

P =

=

b

o

 

  = 15

64

 4 64

 4

Zadanie 4

n

S ( n)

X EX

λ

ES ( n)

E X

...

X

..

i

= ∑ k

k =

i →

i

= ( 1 + + n ) =

k =1

S ( n) − nλ CTG

i

i → N ( )

1

,

0

λ n

i

( S ( n) − λ

n

i

i )2

2

→ χ )

1

(

λ n

i

2

2

χ → χ ( k) Zadanie 5

Chyba błąd w treści przy X

( X µ ≅

t k

k )

N (

2

µ , σ

,

k

)

µ ≅ N

k

( 2

µ, a )

(

2

X µ

,

k

k )







σ 

≅ N µk





T 





2

σ 2

2

X

≅ N µ, a



+

b

o var X

2

= var

+ var

=

+

k





k

( E( X µ

k

k )

E(

( X µ

k

k )

σ

a



T 

T

∑( X k − X )2 ≅ χ( k − )1 ozn: X

2

2 + σ

a

T

∞

k −1

x

∞

k −3

x

∞

k −

 1 

−1 −

−1 −

3

1

1

1

1

k

3

E

 = ∫

 − 

2

2

x

e

=

2

2

x

e

=

... dx ⋅

2

2

Γ

 =

k −1

∫ k−1

k −1

∫

 X 

x

 2 

0

 k −1

0

 k −1

 k −1

2

2



Γ



2

2

Γ



2

2

Γ

 0

 2 

 2 

 2 

 k

3 

k

k

Γ − 

3

1

− − +

 2

2 

1

1

1

2

1

= 2 2 2 2 2

=

=

=

 k

1 

2 k

3

2 k − 3

k − 3

Γ − 

−

 2

2 

2

2

1







≅

−



χ 2 ( k

)

1

 6 4

4 7

4

4 8 



2

σ 2



a +

 1 





T

1

1

1

E

 = E



=

 SSB 

 ∑ (

2

2

2

X − X

− 3



k

) 2 σ k

2

σ

a +

a +





T

T













 SSW nzl



1

1

2

E

 =

K ( T − )

1 σ

2

 SSB 

K − 3 2

σ

a + T

K ( T − )

1

2

2

σ T

σ

K −

const =

→ const =

( K −

( 2

2

a T + σ )

3

)

3

2

2

a T + σ

KT ( T − )

1

Zadanie 6

2



σ



2

X ≅ N µ,

 S n

z

l

n

X z

l X





5



4 



5



X

X

N

;

0

σ

5 −

≅ 

2 



4



2

S ⋅ 3

2

≅ χ

)

3

(

2

σ

≅ t(3)







4

6

4

7 8



≅ t

P(





 X − X σ

cS σ 



c 

X − X < cS =

c

P

<

 = P X <

=

→

=

→ c ≈

5

)

}

(3)

5

2

2

95

,

0

182

,

3

558

,

3

5

S

S





2

5

5

5





σ

σ











4

4



Zadanie 7

Budujemy test najmocniejszy bo wtedy β min przy ustalonym α

∑( Xi−0,5)2

−

∑ Xi 9

2

−

e

2

8

= e

2

∑ X

−

i

2

e

 ∑ X



9

P

i



0

− > ln t = α





∑ X

N

0 ≅

(

)

9

,

0



2

8



 9 

 ∑ X



∑ X

N

1 ≅



9

, 

i

9

P 

 2 

1

− < ln t  = β







2

8



 ≅ }

N (0 )

1

,





9 



2



P 

X

t

P

X

t

0

∑ i > 2ln +  = 

> ln + ,

0 75



4 



3



 ≅ }

N (0 )

1

,





9 



2



P 

X

t

P

X

t

1 ∑

i < 2 ln

+  = 

< ln − ,

0 75



4 



3



α + β → min ⇔ 1 − α − β m ax

lnt=0

 ≅ }

N (0 )

1

,







ODP = 1 − P

X

< ,

0 75 ≈ ,

0 4533









Zadanie 8

X

− −

−

1

X 2

X 3

25 X 1 X 2 X 3

1

  1   3   3



L =

1

( − θ)

 θ 

 θ  

1

( − θ)





 4

  4 

 4   4



X :

)

1

,

1

(

1

X : ,

1

( 2)

2

X : (

)

1

,

2

3

25− X −

1

X 2

3

25− X −

+

2

X 3

X 2 X 3

L =

1

( − θ)

θ

25

4

ln L = (25 − X − X

−

−

− +

+

1

2 )ln 3.. (

. 25

X

X

2

3 )ln 1

(

θ)

( X X

2

3 )ln θ

∂

X

X

X

X

X

X

θ

X

X θ

2 +

25

3

− 2 − 3 ( 2 + 3 ) 1

( − ) − (25 − 2 − 3 )

=

−

=

=

∂ θ

θ

1 − θ

θ 1

( − θ)

X + X − 25 θ

X + X

2

3

ˆ

2

3

=

→ θ =

θ 1

( − θ)

25

θˆ =liczba (1,2) lub (2,1) w 25-próbce 1

3

prawdopodobieństwo sukcesu:

θ + θ

4

4

1

θ 1

( − θ)

ˆ

var θ =

25 θ 1

( − θ) =

252

25

Zadanie 9

f ( N y)

f ( y N ) f ( N )

=

f ( y)

F ( Y <

−

x N ) = 1− e αNx ≅ wykl( αN )

∞

f ( y) = ∑ f ( y N ) f ( N ) N =1

−

f ( y N )

αNy

= αNe

∞

n

∞

n

αy

− αny λ

λ

( −

−

λe

)

y

α

y

α

αy

f ( y) = ∑ αne e

= ∑

− −

λe

λe

− λ

− λ λe

−

e

e

e αn =

αy

αe e

λe

n

n

n=

!

!

1

n=0

n

− αny λ

− λ

E(

nαne

e

n

N Y = y)

∞

∞

= ∑

n

=

1

!

αy

y

α

∑ 2 − αny λ

n e

=

− λ

− αy λe

− αy λe

n

n=

!

1 αe

e

λ

e

λe

e

n=1

∞

n

1

αy

2 (

−

λe

)

=

y

α

∑

− −

λe y

α

n

e

= 1 αy

e ( − αy

2 −

λe

+

2 αy

λ e

)

−

= 1+

αy

e

λ

− αy λe

n

λ

λe

e

n=

!

0

Zadanie 10

P( C

1 ∩ C 2 ) = p 2

P( C 1 ) = P( C 2 ) = p P( E ∩ C

1 ) = P( E ∩ C 2 ) = rp P( E ∩ C ∩ C =

1

2 )

p 2 r

P( E′ ∩ C′ ∩ C′ = 1

( − p)

1

)

2

2

2



1

( − p) = P ( E ∪ C

C

1

2 )′

∪







P( E ∪ C

C

P( E)

P C

P C

P E

C

P E

C

P C

C

P E

C

C

1 ∪

2 ) =

+ ( 1)+ ( 2 )− ( ∩ 1)− ( ∩ 2 )− ( 1 ∩ 2 )+ ( ∩ 1 ∩ 2 ) =

= P( E) + 2 p − 2 rp − p 2 + p 2 r → 1

( − p 2

) = 1 − P( E) − 2 p + 2 rp + p 2 − p 2 r →

→ P( E) = 1− 2 p + 2 rp + p 2 − p 2 r −1+ 2 p − p 2 = 2 rp − p 2 r P( C 1 ∩ E) rp

rp

1

ODP =

=

=

=

P( E)

2 rp − p 2 r rp(2 − p)

2 − p