III. Analiza przypadków wytrzymałościowych pręta Dane:
rozkład sił wewnętrznych w konstrukcji prętowej (belka, rama, kratownica) geometria pręta
cechy materiału (prawo Hooke’a)
podpory
Szukamy:
rozkładu naprężeń
odkształceń
przemieszczeń
Geometria elementów konstrukcji:
ciało 3D
płyta, tarcza, powłoka (2D)
pręt (1D)
pręt prosty i pryzmatyczny (1D)
Cecha definiująca-
Jeden z wymiarów geometrycznych elementu jest znacznie większy od pozostałych L >>L ,L
X
Y
Z
LY
X
dowolny przekrój
LZ
Y
poprzeczny,
charakterystyki
Z
L
potrafimy
X
wyznaczyć
oś pręta (oś X) = oś przechodząca przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych (za chwile okaże się dlaczego) (Y,Z) – wygodnie (okaże się wkrótce dlaczego) jest przyjąć osie główne bezwładności przekroju poprzecznego wtedy YX, ZX są płaszczyznami głównymi mogą też być inne typy prętów:
-pręty zakrzywione (łuki) -pręty o zmiennym przekroju (nie-pryzmatyczne)
Siły wewnętrzne, przypadek ogólny
[ ]
Znakowanie sił wewnętrznych
∆X
X
w przyjętym układzie współrzędnych x ∆x
M ( M , M , M )
O
X
Y
Z
O
S ( N, Q , Q )
Y
Z
Y
Z
Siła osiowa
N
MZ XZ
X
XY
MX
Y
Q
Moment
Z
Y
Q
M
Z
Y
skręcający
Siły poprzeczne
Dodatnie (+) na rysunku
Momenty zginające w dwóch
płaszczyznach głównych
zasada zesztywnienia (małe przemieszczenia) małe odkształcenia
materiał liniowo-sprężysty
więzy dwustronne
=> zasada superpozycji (konsekwencja liniowości) Każdą składową analizujemy oddzielnie, wyniki dodajemy 1.
Siła osiowa N
2.
Momenty zginające M ,M
Y
Z
3.
Siły poprzeczne Q ,Q
Y
Z
4.
Moment skręcający MX
1. Siła osiowa (normalna, podłużna) X
N>0, siła rozciągająca
Y
Z
X
N<0, siła ściskająca
(tylko dla przekrojów o małej smukłości) Y
Z
Rozważamy przypadek, że:
wypadkowa sił wewnętrznych N = wypadkowej sił zewnętrznych po jednej stronie przekroju przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego
Jaki rozkład naprężeń będzie panował w całym przekroju?
Załóżmy ze jest to:jednorodny (stały), jednoosiowy stan naprężeń, statycznie równoważny tej sile. Warunki statycznej równoważności to: sumy równe:
N = ∫σ dF σ
dF
σ F
XX
= XX ∫
= XX
F
F
moment od naprężeń=0:
dM
r dp
y z
σ dF
O =
×
= ( ,
0
, )× (
, ,
0 0
XX
)=
0
z
0
y
= ,
0
−
,
=
σ dF 0 σ dF 0
XX
XX
r = ( ,
0 y, z)
= ( ,
0
zσ
dF ,
yσ
dF
O
XX
−
XX
)
M
dM
0
O = ∫
O =
= ( ,
0 ,
0 )
0 :
dp = (σ
dF, ,
0 )
0
XX
F
M
zσ
dF
σ
zdF
σ S
S
Y = ∫
XX
= XX ∫
= XX Y = 0
⇒ Y = 0
F
F
M
yσ
dF
σ
ydF
σ S
S
Z = −∫
XX
= − XX ∫
= − XX Z = 0 ⇒ Z = 0
F
F
jest to możliwe tylko gdy wypadkowa sił wewnętrznych N przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego
N = σ
F ⇔ σ
=
XX
XX
F
stan naprężenia:
N
0
0
F
σ = 0 0 0
0
0
0
stan odkształcenia (prawo Hooke’a):
N
0
0
EF
−
ε =
vN
0
0
EF
− vN
0
0
EF
w rzeczywistych przypadkach mogą wystąpić zaburzenia wywołane sposobem przyłożenia sił lub więzami, np: strefa równomiernego rozkładu σ
zabużenia
rozkładu σ
ich wpływ na stan naprężenia zanika jednak szybko, wraz z odległością (zasada de Saint –Venanta) i rozważamy równomierny rozkład naprężeń o ile tylko wypadkowe obciążeń przechodzą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego
model MES (Metoda Elementów Skończonych) program ZSoil
σ XX
izo-mapa
wykres w poszczególnych przekrojach
strefa równomiernego rozkładu σ
Przemieszczenia
(w ogólności zależą od warunków podparcia, w praktyce interesują nas tylko uX) uX = 0
wykres
siły osiowej
X
+
l
x
Nx
u = ∫ε dx =ε x =
X
XX
XX
EF
0
Nl
Pl
u = l
∆ =
=
X
N ( x) = P = const EF
EF
P
Energia sprężysta w pręcie ściskanym / rozciąganym N x
N x
ε
ε x
, σ
Eε x
XX =
( )
( )
( )
=
XX =
=
( )
EF
F
l
1
1
N
E
ε σ dV
E 2
ε dFdx
S
= ∫ XX XX
= ∫ ∫
=
2 Ω
2 0 F
l
1
N ( x) 2 }
F
= ∫ E
2 0
( EF)2 ∫ dFdx =
F
l
1
N ( x)2
l
= ∫
1
dx =
∫ε( x) N( x) dx 2
EF
2
0
0
ε
odkształcenie uogólnione
N
siła osiowa -naprężenie uogólnione Praca wirtualna sił wewnętrznych w pręcie ściskanym / rozciąganym l
N
W
δ
= ∫δε ⋅ Ndx
0
Przykład 1
Znaleźć naprężenia i przemieszenia w p. A i B pręta stalowego F = 2 c
0 m 2 ,
E = 20 G
5 Pa,
l = 0
.
3 m
N :
[kN]
N
150
kN
1
4
σ =
=
= 5
.
7 ⋅10 kPa = 75 0
. MPa
−
150
1
F
4
20 ⋅10
m 2
1 l
N
50
kN
2
2
4
+
σ =
=
=
⋅
=
P = 100 kN
5
.
2
10 kPa
25 0
. MPa
2
−4
2
2
F
20 ⋅10
m
A
50
N l
σ l
u
1
1
=
=
=
A
1 l
EF 2
E 2
2
75 0
.
0
.
3
MPa ⋅ m
−4
=
⋅
= 4
.
5 8 ⋅10 m
3
205 ⋅10
2
MPa
B
P = 50 kN
1
N l
N
l
σ l σ l
u
1
2
1
2
=
+
=
+
=
B
EF 2
EF 2
E 2
E 2
75 0
. + 25 0
.
0
.
3
MPa ⋅ m
−4
=
⋅
= 7 3
. 1⋅10 m
3
205 ⋅10
2
MPa
Zagadnienia techniczne dla rozciągania (lub ściskania prętów nie podlegającym wyboczeniu)
N
σ = F
(konstrukcje metalowe)
f
= (200 ÷ 35 )
0 [ MPa] -wytrzymałość obliczeniowa dla stali d
Typy zadań:
N
Sprawdzanie naprężeń w przekroju: σ
= max
max
≤ fd
F
N
Wymiarowanie (określenie przekroju): F ≥ F
max
=
min
fd
Określenie granicznego obciążenia:
N ≤ N = F ⋅ f gr
d
a) Sprawdzić nośność pręta z p.1 , f = 215 MPa d
N max
N
150
kN
1
σ
=
= σ =
=
=
max
F
1
F
20 ⋅10−4 m 2
= 5
.
7 ⋅104 kPa = 75 0
. MPa ≤ f = 215 MPa d
b) Dobrać powierzchnię przekroju:
N
150 kN
max
F ≥ F
=
=
=
min
f
215 MPa
d
150
kN
−4
2
2
= .
6 97 ⋅10 m = 6 9
. 7 cm
3
−2
215 ⋅10 kNm
c) Określić obciążenie graniczne:
N ≤ N
= F ⋅ f = 20⋅10 4− ⋅215 m 2 ⋅ MPa gr
d
m 2 MN
= 4
.
0 300
= 430 kN
m 2
Na końcach pręta o długości
2
l i przekroju
E ,
F znajdują się sprężyny
kompensacyjne o sztywności k. Jakie powstanie w nim naprężenie przy podgrzaniu o nie odkształcalne ściany
T
∆
E, F ,α
N
kN
k =
∆ m
k
k
2 l
l
d
Symetria zadania,
schemat połówkowy
l + ∆ l
d + ∆
Odrzucamy więz (myślowo),
N
Jego działanie zastępujemy
siłą N, wstępnie przyjętą jako rozciągającą
W rzeczywistości więz działa,
stąd wydłużenie całego układu:
∆ l + ∆ = 0
ε + N
l
= 0
k
∆ + ∆ = 0
N
l
ε +
= 0
k
σ
N
+ α T
∆ l +
= 0
E
k
N
N
+ α T
∆ l +
= 0
EF
k
l
1
EFk
1
N
+ = −α T
∆ l ⇒ N = −α T
∆ l
⇒ σ = − Eα T
∆
EF
k
lk + EF
EF
1 + kl
0.8
EF → 0
1
Przy małych jak dla podpór kl
0.6
1
EF
sztywnych
σ → − Eα T
∆
1+ x
1 +
0.4
kl
0.2
EF
EF
Przy dużych
→ ,
∞ σ → 0
0
kl
kl
0
2
4
6
8
10
x