1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem:
(a) f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y,
(b) f (x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2,
1
(c) f (x, y) =
,
6 + x2 + 2x + y2 − 4y
(d) f (x, y) = x3 + y3 − 3a xy,
1
1
1
(e) f (x, y, z) = x + 2y + 2z +
+
+
,
x + y
y + z
z
y2
z2
2
(f) f (x, y, z) = x +
+
+
dla x > 0, y > 0, z > 0.
4x
y
z
12
12
4
(g) f (x, y, z) = (x + y)3 +
+
+ z +
,
x
y
z
4
(h) f (x, y, z) = 4 ln (x + y)2 + 2 ln y − (x + y)2 − y2 + z +
.
z
2. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji:
(a) f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x2 + y2 = 1,
(b) f (x, y) = x2 + 12xy + 2y2 przy warunku 4x2 + y2 = 25,
(c) f (x, y) = x − 2y + 2z przy warunku x2 + y2 + z2 = 1,
1
1
1
(d) f (x, y) = x + y przy warunku
+
=
,
x2
y2
a2
1
1
1
1
1
(e) f (x, y) =
+
przy warunku
+
=
,
x
y
x2
y2
4
(f) f (x, y, z) = xyz przy warunkach x + y + z = 0 i x2 + y2 + z2 = 1.
3. Spośród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2a znaleźć ten, którego pole jest największe.
4. Na elipsie opisać trójkąt o najwększym polu o podstawie równoległej do osi elipsy.
5. Zadaną liczbę a > 0 rozłożyć na sumę czterech składników tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza.
6. Zadaną liczbę a > 0 przedstawić w postaci iloczynu czterech czynników dodatnich tak, aby ich suma była najmniejsza.
7. Znaleźć odległość między parabolą y = x2 i prostą x − y − z = 0.
8. Wyznaczyć współrzędne punktów leżących na okręgu (x − 6)2 + (y − 1)2 = 25, których odległość od punktu A = (0, −7) jest ekstremalna.
1
9. Znaleźć odległość między prostymi k i l zadanymi równaniami:
k : x = 2 + t, y = 2t, z = 1 + t; t ∈ R,
l : x = 3 + 2s, y = 2 + s, z = 1 + 3s; s ∈ R.
10. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w obszarze D:
(a) f (x, y) = x2 + xy, D = {(x, y) ∈
2
R : x2 ≤ y ≤ 4},
(b) f (x, y) = x2 − xy + y2, D = {(x, y) ∈
2
R : |x| + |y| ≤ 1},
(c) f (x, y) = x2 + y2 − xy + x + y, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (3, 0) oraz (0, 3).
(d) f (x, y) = xy, D = {(x, y) ∈
2
R : x2 + y2 ≤ 16}.
11. Wyznaczyć ekstrema funkcji y = ϕ (x), uwikłanej równaniem:
(a) x2 − 2x + 4y2 − 16y = −11,
(b) x2 − 8y3 − 4xy = 0,
2
(c) (x2 + y2) = a2 (x2 − y2).
12. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = ϕ (x, y), jeśli:
(a) x2 + y2 + z2 − xz − yz + 2x + 2y + 2z − 2 = 0,
2
(b) (x2 + y2 + z2) = a2 (x2 + y2 − z2).
2