Analiza regresji …

Lista zadań nr 1

Podstawy analizy regresji – warunkowe wartości oczekiwane PODSTAWY TEORII MIARY:

Zadanie 1. Znaleźć najmniejsze

ciało w przestrzeni E=[0,2] (przedział domknięty od 0 do 2) zawierające zbiory [0, 3/2) oraz (1,2), tzn.

ciało generowane przez te zbiory. Ile liczy sobie zbiorów to

ciało ?

Zadanie 2. Niech funkcja Y: E

R będzie określona wzorem: Y ( x)= -21[ 0,2]( x) + 41[ 0,1/4]( x), E jak poprzednio. Niech będzie najmniejszym

ciałem zawierającym wszystkie przeciwobrazy zbiorów borelowskich w odwzorowaniu Y (mówimy, że jest generowana w przestrzeni E przez odwzorowanie Y). Jaka jest moc rodziny ? Wypisz wszystkie zbiory do niej należące.

Zadanie 3. Scharakteryzuj wszystkie odwzorowania przedziału [0,2] w R, mierzalne względem ciała znalezionego w zadaniu 2.

Wsk. Ile różnych wartości może mieć to odwzorowanie?

WARUNOWE WARTOŚCI OCZEKIWANE

Zadanie 4

Niech P będzie miarą Lebesgue’a na rodzinie F podzbiorów borelowskich zbioru

= [0,1] i niech Y =

51[ 0,1]( ) - 31[ 0,1/4]( ). Niech zmienna losowa X: R będzie określona wzorem X( ) = . Znaleźć E( X|Y) i P(A| Y), gdzie A jest dowolnym podzbiorem borelowskim zbioru Obliczyć E[ P(A| Y)], gdy

A=[1/6,5/6]

Zadanie 5

Wektor ( X,Y) T ma rozkład typu ciągłego z gęstością : f ( ,

x y)

(

A x

y)2 1

( x)1

( y)

0,2)

(0,3

Znajdź najlepszą sensie średnio-kwadratowym prognozę dla wartości zmiennej Y jeśli X=1 (czyli najlepsze oszacowanie Y przy podanej informacji).

Wsk. Najlepszy estymator Y w tym wypadku to E( Y| X=x) Zadanie 6

Wektor ( X,Y) T ma rozkład typu ciągłego z gęstością równą zero poza kołem o środku w początku układu i promieniu 1. Wewnątrz koła gęstość ma wartość stałą.

Znajdź najlepszą prognozę dla wartości zmiennej Y jeśli X=x.

Zadanie 7

Wektor ( X,Y) T ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem wartości oczekiwanych m=(3,4) oraz 9

5

macierzą kowariancji Σ

. Znajdź najlepszą prognozę dla wartości zmiennej Y jeśli X=2.

5

4

PRZYDATNE FAKTY:

Zadanie 8 Niech X będzie n wymiarowym wektorem losowym i niech X oznacza jego macierz kowariancji (zakładamy, że istnieje). Niech Y=XTAX, dla pewnej macierzy A Pokazać, że Y = EXTAEX + trA X

Zadanie 9 Niech X będzie n wymiarowym wektorem losowym i niech X oznacza jego macierz kowariancji (zakładamy, że istnieje). Niech Y=AX, dla pewnej macierzy A Pokazać, że Y = A

XAT

Zadanie 10. Niech X będzie n wymiarowym wektorem i niech będzie macierzą odpowiedniego

wymiaru. Niech zmienne skalarne Y i Z będą określona następująco: Y=XTV oraz Z=XTAX , dla pewnej macierzy A i wektora V. Pokazać, że kolumnowe wektory pochodnych cząstkowych (gradienty) tych funkcji wyrażają się wzorami

Y

V ora

z

Z

2AX

X

X