Ciąg okresowy ~ x( n)o okresie N nie może być przedstawiony za pomocą transformaty Z, ponieważ dla każdego z nie jest ona zbieżna. Jest jednak możliwe przedstawienie ciągu ~ x( n) za pomocą szeregu Fouriera, mającego postać sumy ciągów wyrazów sinusoidalnych i cosinusoidalnych lub, co jest równoważne, ciągu zespolonych wyrazów wykładniczych, w których częstotliwości są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej 2π/N ciągu okresowego.
Fourierowskie przedstawienie okresowego ciągu ~ x( n) zawiera tylko N wyrazów i posiada postać:
~
N −
1
1 ~
( ) =
⋅ ∑ X( k) (⋅ ⋅2π/ )
x n
⋅ ej
N n
⋅ k
⋅
N k=0
( 1.A)
~
Współczynniki X( k) występujące w równaniu ( 1.A) są określone zależnością
~
N −1
( )
~
= ∑ ( ) − (⋅ ⋅2π/ )
X k
x n ⋅ e j
N n
⋅ k
⋅
n−0
( 1.B)
Równania ( 1.A) i ( 1.B) mogą być traktowane jako para transformat, które określają reprezentację ciągu okresowego za pomocą dyskretnego szeregu Fouriera. Dla wygody przy zapisie powyższych wyrażeń wprowadza się wielkość WN , określona następująco
W
e j (2 π / N
= − ⋅ ⋅ )
N
( 1.C)
Para transformat może być zapisana
~
N −1
X( k)
~
= ∑ x( n)⋅ Wkn⋅
N
n=0
( 1.D)
~
N −
1
1 ~
X( k) =
⋅ ∑ X( k)⋅ W− kn⋅
N
N
k=0
( 1.E)
X ( k ) są związane zależnością
~
X ( k ) = X ( z) j⋅( ⋅
2 π / N )⋅
−
z= e
k = W k
N
( 1.F)
Odpowiada to próbkowaniu transformaty Z X(z) w N punktach rozmieszczonych równomiernie na okręgu jednostkowym, przy czym pierwsza próbka jest pobierana w punkcie z=1.
2π/N
Rys. 1.A Punkty płaszczyzny z, w których wartości transformaty Z jednego okresu ciągu okresowego równają się współczynnikom jego szeregu Fouriera
Właściwości przekształcenia Fouriera
Ciąg
Transformata Fouriera
1 2
3
1. ~ x( n)
~
X( k) ciąg okresowy o okresie N
2. ~
y( n)
~
Y ( k) ciąg okresowy o okresie N
3.
~
~
~
~
a ⋅ x ( n) + b ⋅ y( n) a ⋅ X( k) + b ⋅ Y ( k) 4.
~ x( n + m)
W − k l⋅ ⋅ ~
X( k)
N
5.
~
W l n⋅ ⋅ x$( n) X( k + l)
N
6.
~
~
N −1 ~
∑
X( k) ⋅ Y ( k) x ( m) ~
⋅ y( n − m)
m=0
(splot okresowy)
7.
~ x( n) ~
⋅ y( n)
1 N 1
−
⋅ ∑ ~
~
X( l) ⋅ Y ( k − l) N l=0
8.
~ x *( n)
~
X * (− k)
9.
~ x *(− n)
~
X * ( k)
10.
[
Re ~ x( n ])
~
X ( k) sprzężona symetryczna e
~
część X( k)
11. j
[
Im ~ x( n ]
)
~
X ( k) sprzężona antysymetryczna o
~
część X( k)
12. ~
x ( n) sprzężona symetryczna część
[~
Re X( n ]
e
)
x(n)
x ( n)sprzężona antysymetryczna
~
j
[
Im X( n)]
o
część x(n)
Następne właściwości odnoszą się tylko do przypadków, gdy ~
x ( n) jest ciągiem rzeczywistym
1 2
3
14 dowolny rzeczywisty ciąg ~ x( n)
~
~
X( k) = X * (− k)
[~
~
Re X( k ]) = R [e X(− k ])
[~
~
Im X( k)] = −I [
m X(− k ])
~
~
X( k) = X(− k)
~
~
ar
[
g X( k ]) = −ar [g X(− k ]) 15 ~
x ( n)
[~
Re X( n ]
e
)
16 ~
x ( n)
~
j
[
Im X( n)]
o