1. Dyskretny szereg Fouriera

Ciąg okresowy ~ x( n)o okresie N nie może być przedstawiony za pomocą transformaty Z, ponieważ dla każdego z nie jest ona zbieżna. Jest jednak możliwe przedstawienie ciągu ~ x( n) za pomocą szeregu Fouriera, mającego postać sumy ciągów wyrazów sinusoidalnych i cosinusoidalnych lub, co jest równoważne, ciągu zespolonych wyrazów wykładniczych, w których częstotliwości są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej 2π/N ciągu okresowego.

Fourierowskie przedstawienie okresowego ciągu ~ x( n) zawiera tylko N wyrazów i posiada postać:

~

N −

1

1 ~

( ) =

⋅ ∑ X( k) (⋅ ⋅2π/ )

x n

⋅ ej

N n

⋅ k

⋅

N k=0

( 1.A)

~

Współczynniki X( k) występujące w równaniu ( 1.A) są określone zależnością

~

N −1

( )

~

= ∑ ( ) − (⋅ ⋅2π/ )

X k

x n ⋅ e j

N n

⋅ k

⋅

n−0

( 1.B)

Równania ( 1.A) i ( 1.B) mogą być traktowane jako para transformat, które określają reprezentację ciągu okresowego za pomocą dyskretnego szeregu Fouriera. Dla wygody przy zapisie powyższych wyrażeń wprowadza się wielkość WN , określona następująco

W

e j (2 π / N

= − ⋅ ⋅ )

N

( 1.C)

Para transformat może być zapisana

~

N −1

X( k)

~

= ∑ x( n)⋅ Wkn⋅

N

n=0

( 1.D)

~

N −

1

1 ~

X( k) =

⋅ ∑ X( k)⋅ W− kn⋅

N

N

k=0

( 1.E)

Transformaty X(z) i ~

X ( k ) są związane zależnością

~

X ( k ) = X ( z) j⋅( ⋅

2 π / N )⋅

−

z= e

k = W k

N

( 1.F)

Odpowiada to próbkowaniu transformaty Z X(z) w N punktach rozmieszczonych równomiernie na okręgu jednostkowym, przy czym pierwsza próbka jest pobierana w punkcie z=1.

2π/N

Rys. 1.A Punkty płaszczyzny z, w których wartości transformaty Z jednego okresu ciągu okresowego równają się współczynnikom jego szeregu Fouriera

Właściwości przekształcenia Fouriera

Ciąg

Transformata Fouriera

1 2

3

1. ~ x( n)

~

X( k) ciąg okresowy o okresie N

2. ~

y( n)

~

Y ( k) ciąg okresowy o okresie N

3.

~

~

~

~

a ⋅ x ( n) + b ⋅ y( n) a ⋅ X( k) + b ⋅ Y ( k) 4.

~ x( n + m)

W − k l⋅ ⋅ ~

X( k)

N

5.

~

W l n⋅ ⋅ x$( n) X( k + l)

N

6.

~

~

N −1 ~

∑

X( k) ⋅ Y ( k) x ( m) ~

⋅ y( n − m)

m=0

(splot okresowy)

7.

~ x( n) ~

⋅ y( n)

1 N 1

−

⋅ ∑ ~

~

X( l) ⋅ Y ( k − l) N l=0

8.

~ x *( n)

~

X * (− k)

9.

~ x *(− n)

~

X * ( k)

10.

[

Re ~ x( n ])

~

X ( k) sprzężona symetryczna e

~

część X( k)

11. j

[

Im ~ x( n ]

)

~

X ( k) sprzężona antysymetryczna o

~

część X( k)

12. ~

x ( n) sprzężona symetryczna część

[~

Re X( n ]

e

)

x(n)

13 ~

x ( n)sprzężona antysymetryczna

~

j

[

Im X( n)]

o

część x(n)

Następne właściwości odnoszą się tylko do przypadków, gdy ~

x ( n) jest ciągiem rzeczywistym

1 2

3

14 dowolny rzeczywisty ciąg ~ x( n)

 ~

~

X( k) = X * (− k)

 [~

~

Re X( k ]) = R [e X(− k ])

 [~

~

Im X( k)] = −I [

m X(− k ])

 ~

~

 X( k) = X(− k)



~

~

ar

 [

g X( k ]) = −ar [g X(− k ]) 15 ~

x ( n)

[~

Re X( n ]

e

)

16 ~

x ( n)

~

j

[

Im X( n)]

o