݂ሺݔሻ = ݔ ∗ ݁௫

ܦ = ܴ

1

ܻ =< − , ∞ሻ

݁

݂ሺݔሻ = 0 ⇔ ݔ ∗ ݁௫ = 0 ⇔ ݔ = 0

݂ሺ0ሻ = 0 ∗ ݁଴ = 0

݂ሺ−ݔሻ = −ݔ ∗ ݁ି௫ ≠ ݂ሺݔሻ ∧ ≠ −݂ሺݔሻ

lim ݔ ∗ ݁௫ = ሾ∞ ∗ ∞ሿ = ∞

௫→ஶ

Brak asymptoty poziomej w +∞

lim ݔ ∗ ݁௫ = ሾ−∞ ∗ 0ሿ = 0

௫→ିஶ

Asymptota ukośna

ݕ = ܽݔ + ܾ

௙ሺ௫ሻ

௫∗௘ೣ

ܽ = lim௫→ஶ

=

= ݁௫ = ∞ brak asymptoty ukośnej ௫

௫

݂ᇱሺݔሻ = 1 ∗ ݁௫ + ݔ ∗ ݁௫ = ݁௫ሺ1 + ݔሻ

݂ᇱሺݔሻ = 0 ⇔ ݁௫ሺ1 + ݔሻ = 0 ⇔ 1 + ݔ = 0 ⇔ ݔ = −1

݂ᇱሺݔሻ > 0 ⇔ ݁௫ሺ1 + ݔሻ > 0 ⇔ ݔ > −1 ⇒ ݂ሺݔሻ ↑

݂ᇱሺݔሻ < 0 ⇔ ݔ < −1 ⇒ ݂ሺݔሻ ↓

Min dla ݔ = −1

1

݂ሺ−1ሻ = −

݁

݂ᇱᇱሺݔሻ = ሺݔ ∗ ݁௫ + 1 ∗ ݁௫ሻᇱ = 1 ∗ ݁௫ + ݔ ∗ ݁௫ + 0 + ݁௫ = ݁௫ሺ1 + ݔ + 1ሻ = ݁௫ሺݔ + 2ሻ

݂ᇱᇱሺݔሻ = 0 ⇔ ݔ + 2 = 0 ⇔ ݔ = ሺ−2ሻ Zmiana wypukłości (punkt przegięcia)

݂ᇱᇱሺݔሻ > 0 ⇔ ݔ + 2 > 0 ⇔ ݔ > ሺ−2ሻ wypukła ku dołowi

݂ᇱᇱሺݔሻ < 0 ⇔ ݔ + 2 < 0 ⇔ ݔ < ሺ−2ሻ wypukła ku górze 1

2

݂ሺ−2ሻ = ݔ ∗ ݁௫ = −2 ∗

= −

݁ଶ

݁ଶ

ln ݔ

݂ሺݔሻ =

ݔ