Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 14
1
Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 14
Z5/14.1. Zadanie 14
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na rysunku Z5/14.1. Wymiary belki podane są w metrach.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
B
C
D
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/14.1. Belka prosta
Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z5/14.1 znajduje się w zadaniu 13. Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z5/14.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
96,75 kN
83,25 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/14.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej Z5/14.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i C będą powodowały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o wartości 96,75 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc T =96,75 kN
A
.
(Z5/14.1)
W przedziale AB działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 27,0 kN/m w dół więc siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi T L =96,75−27,0⋅6,0=−65,25 kN .
(Z5/14.2)
B
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.127) jego odległość od punktu A wynosi 96,75
x =
=3,583 m
(Z5/14.3)
L
27,0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 14
2
natomiast od punktu B, zgodnie ze wzorem (5.128) miejsce zerowe znajduje się w odległości 65,25
x =
=2,417 m .
(Z5/14.4)
P
27,0
W punkcie B nie działa żadna siła skupiona więc wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosi
T P
B =−65,25 kN
.
(Z5/14.5)
W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz z lewej strony punktu C wartość stałą równą
T = T L=−65,25 kN .
(Z5/14.6)
BC
C
W punkcie C działa reakcja o wartości 83,25 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C wynosi więc
T P=−65,2583,25=18,0 kN .
(Z5/14.7)
C
W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz w punkcie D wartość stałą równą
T = T =18,0 kN
CD
D
.
(Z5/14.8)
Rysunek Z5/14.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyznaczonego metodą punktów charakterystycznych.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
83,25 kN
96,75 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
96,75
18,0
T(x) [kN]
3,583
2,417
65,25
Rys. Z5/14.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 14
3
Z5/14.3. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB moment zginający będzie funkcją kwadratową natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły. W dalszej części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.
a)
b)
27,0 kN/m
A
A
M
M (L)
A
B
96,75 kN
96,75 kN
6,0
[m]
Rys. Z5/14.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Rysunek Z5/14.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
A
.
(Z5/14.9)
Rysunek Z5/14.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
1
M L=96,75⋅6,0−27,0⋅6,0⋅ ⋅6,0=94,5 kNm .
(Z5/14.10)
B
2
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a)
27,0 kN/m
b)
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
96,75 kN
M
M
1
1
83,25 kN
3,583
2,417
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/14.5. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB
Rysunek Z5/14.5 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale AB. Zgodnie z rysunkiem Z5/14.5 a) wynosi on
1
M =96,75⋅3,583−27,0⋅3,583⋅ ⋅3,583=173,3 kNm (Z5/14.11)
1
2
Zgodnie z rysunkiem Z5/14.5 b) wynosi on
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 14
4
1
M =83,25⋅ 2,02,417−18,0⋅ 4,02,417−27,0⋅2,417⋅ ⋅2,417=173,3 kNm .
(Z5/14.12)
1
2
Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale AB obliczone dla lewej i prawej części belki są takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a)
b)
18,0 kN
18,0 kN
C
C
D
D
M (P)
M (L)
B
83,25 kN
C
83,25 kN
2,0
2,0
[m]
2,0
[m]
Rys. Z5/14.6. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC
Rysunek Z5/14.6 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M P
B =83,25⋅2,0−18,0⋅4,0=94,5 kNm
.
(Z5/14.13)
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/14.10). Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Rysunek Z5/14.6 b) przedstawia moment zginający w punkcie C z lewej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M L=−18,0⋅2,0=−36,0 kNm .
(Z5/14.14)
C
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
a)
b)
18,0 kN
18,0 kN
D
D
M (P)
M
C
2,0
D
[m]
Rys. Z5/14.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD
Rysunek Z5/14.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M P=−18,0⋅2,0=−36,0 kNm .
(Z5/14.15)
C
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/14.14). Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/14. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 14
5
Rysunek Z5/14.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie D. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
D
.
(Z5/14.16)
Rysunek Z5/14.8 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
83,25 kN
96,75 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
,7596
18,0
T(x) [kN]
3,583
2,417
65,25
0
M(x) [kNm]
0,
94,5
36,0
0,0
3,317
3,583
2,417
Rys. Z5/14.8. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów charakterystycznych
Dr inż. Janusz Dębiński