Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
Liczby zespolone
Niech Z oznacza zbiór złożony z par (a,b), gdzie a Î R , b Î R . Dwie pary nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio równe są elementy tych par czyli: ( a , b = a , b
1
1 )
( 2 2)
c
a = a Ù b = b
1
2
1
2
Są to więc pary uporządkowane.
Określamy w tym zbiorze dwa działania:
Dodawanie: ( a , b + a , b = a + a , b + b 1
1 )
( 2 2) ( 1 2 1 2)
Mnożenie: ( a , b * a , b = a a - b b , a b + b a 1
1 )
( 2 2) ( 1 2 1 2 1 2 1 2)
DEF.
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie:
1. ( a , b = a , b Û a = a Ù b = b 1
1 )
( 2 2)
1
2
1
2
2. ( a , b + a , b Û a + a , b + b 1
1 )
( 2 2)
1
2
1
2
3. ( a , b * a , b = a a - b b , a b + b a 1
1 )
( 2 2) ( 1 2 1 2 1 2 1 2)
Liczbę (0,1) nazywać będziemy jednostką urojoną i oznaczać literą „i” czyli:
i=(0,1)
Uważamy, że 2
i = ( )(
1
,
0
)
1
,
0
= (- ,
1 )
0 = -1
Każda liczba zespolona (a,b) da się przedstawić za pomocą liczby „i” oraz liczb (a,0), (b,0): z = ( a, b) = ( a, ) 0 + ( ,
b )
0
Stąd krótko z = a + bi , np. z = 2 + i, z = 3 - i 4
Otrzymaną postać nazywamy postacią kartezjańską (algebraiczną) liczby zespolonej.
Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy Rez (czyt. realis) Liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy Imz (czyt. Imaginaris) Jeżeli Rez=0 to liczbę nazywamy czysto urojoną.
Jeżeli Imz=0 to liczbę nazywamy czysto rzeczywistą.
Mamy też:
2
2
z = a + b -moduł liczby zespolonej z = a - bi
-liczba sprzężona do z
Działania na liczbach zespolonych (w postaci kartezjańskiej) Dodawanie , odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonujemy tak, jak działana na dwumianach z uwzględnieniem, że i2=-1
- 1 -
Prowadzący:
Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
z + z = ( a + b i) + ( a + b i) = a + a + ( b + b ) i 1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
.
np 3 + 4 i + 5 - 2 i = 3 + 5 + (4 - ) 2 i = 8 + 2 i
z * z = a + b i) * ( a + b i) = a a + a b i + b a i, 2
+ b b i =
1
2
1
1
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
= ( a a - b b ) + ( a b + b a ) 1 2
1 2
1 2
1 2
np 1
.( - 2 i) * (2 + i) = 2 + i - 4 i - 2 2
i = 2 + 2 + 1
( - )
4 i = 4 - 3 i
20
i = ( 2
i )10 = (- )
1 10 = 1
Dzielenie liczb zespolonych (w postaci kartezjańskiej) Aby podzielić z1, przez z2, należy je jednocześnie pomnożyć przez z 2 (czyli liczbę sprzężoną będącą w mianowniku);
z
a + b i a - b i
a a + b
( a - a b i
) + b b
a a + b b
1
1
1
=
* 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
=
=
+
z
a + b i a - b i
a 2 + b 2
a 2 + b 2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
b a - a b
1 2
1 2
+
* i
a 2 + b 2
2
2
1 - i
1 - i
2 - i
3
2 - i
3 - i
2 + i
3 2
-1- i
1
5
np.
=
*
=
=
= -
-
i
2 + i
3
2 + i
3
2 - i
3
4 + 9
13
13 13
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Liczbę zespoloną interpretujemy jako punkt (a,b) na płaszczyźnie Gaussa, w której wyróżniamy dwie wzajemnie prostopadłe osie zwane odpowiednio: pozioma – oś rzeczywista, pionowa - oś urojona
Niech z=a+bi
T
z =
a
Każdej liczbie zespolonej z=a+bi odpowiada dokładnie jeden punkt (a,b) na tej płaszczyźnie i odwrotnie.
Jeżeli punkt (a,b) połączymy z (0,0) to odległość tych dwóch punktów będzie równa 2
2
z = a + b czyli promieniowi r.
- 2 -
Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
Jeżeli przez a oznaczymy kąt jaki tworzy promień r z dodatnim kierunkiem osi Rez w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to nazywamy go argumentem liczb z, przy czym ograniczając się do zakresu < ,
0 ,
2 p > - argumentem głównym liczby z:
a = arg z
Mamy wówczas (patrz rys wcześniej)
a
b
b
cosa =
;sina =
; tg a =
z
z
a
Oraz z = a + bi = z * cosa + z * sina * i = z (cosa + sina * i) Ostatni zapis liczby zespolonej nazywany jest jej postacią trygonometryczną czyli z = z * (cosa + sina * i) a można wyznaczyć więc albo z układu:
a
b
b
cosa =
;sina =
; tg a = wówczas mamy:
z
z
a
b
Jeżeli
= a
tg , a
Ù
1
1 należy do pierwszej ćwiartki to:
a
a = a1
,jeżeli należą do I ćwiartki
a = P - a1
,jeżeli należą do II ćwiartki
a = P + a1
,jeżeli należą do III ćwiartki
a = 2P -a1
,jeżeli należą do IV ćwiartki
Przykład
Znaleźć postacie trygonometryczne liczb:
1.
Re z = 2 > 0 ü
ü
z = 2 - 2 i,
ý Þ z Î
ï
IVcw
Im z = - 2 < 0þ
ï
z = ( 2)3 + (- 2)2
ï
P
= 4 =
7
2
ý Þ a = P
2 -
= P
ï
4
4
- 2
P
ï
a
tg
=
= -1 = 1 Þ a =
1
2
1
4
ïïþ
7
7
Czyli z =
2 - 2 i = 2 * (cos P + sin P * i) 4
4
- 3 -
Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) z = z * (cosa + sina * i) 1
1
1
1
Niech : z = z *(cosa + sina * i) 2
2
2
2
Mamy:
z * z = z * z * (cos(a + a ) + sin(a + a ) * i) 1
2
1
2
1
2
1
2
z
z
1
1
=
* (cos(a - a ) + sin(a - a ) i)
1
2
1
2
z
z
2
2
Przykład
1 1
Dla liczb z = 4 + i
4
z = - +
z * z
z : z
1
oraz
i
2
obliczyć
oraz
korzystając z
2 2
1
2
1
2
ich postaci trygonometrycznych:
P
z = 16 + 16 = 16 * 2 = 4 2
a =
1
;
1
(bo w I ćwiartce)
4
1 1
1
2
3
z =
+ = 2 * =
a =
2
;
P (bo w II ćwiartce)
4 4
4
2
2
4
2
P 3
P 3
z * z = 4 2 *
(cos(
+ P) + sin( + P i)) = 4 * (cosP + sin P i)) = - i 4
1
2
2
4
4
4
4
3
2
1
3
2
1
1
-
0
z
4 2
P 3
P 3
P
P
1 =
* (cos(
- P) + sin( - P i)) = (
8 cos(- ) + sin(-
i
) ) = - i
8
z
2
4
4
4
4
2
2
2
4
1
4
2 3
4
1
4
2 3
2
0
1
-
Potęgowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) 2
2
Skoro z * z = z * (cos 2a + i sin 2a ) = z n
n
Stąd z * z *...* z = z = z * (cos n a + i sin n a ) 4
1
4
2 3
n- razy
Mamy więc wzór:
zn = z n * (cos a
n + i sin a
n )
- 4 -
Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
Przykład
1
3
Obliczyć
3
(- -
i)
2
2
1 3
ü
z =
+ = 1 = 1Ù z Î
ï
IIIcw
4 4
ï
1
3
ï
4
z = - -
i,
- 3
ýa = P
2
2
P
2
ï
3
a
tg
=
= 3 Þ a =
1
1
1
3
ï
-
ï
2
þ
Mamy więc zgodnie ze wzorem:
3
z =
4
13 * (cos5 * P +
4
i sin5 * P) =
20
cos
P +
20
i sin
P =
3
3
3
3
=
2
cos6 P +
2
i sin 6 P =
2
cos P +
2
i sin P
3
3
3
3
(skorzystaliśmy z własności okresowości funkcji sinus i cosinus: sin( {
2 P
k
+ a) = sin( {
2 P
k
+ a) = cosa
l. parzysta
l. parzysta
Pierwiastkowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) Każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się liczbie zespolonej z, nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z i piszemy: n
w = z
Twierdzenie
Każda liczba zespolona z ¹ 0 posiada dokładnie n różnych pierwiastków określonych wzorem:
a + 2 P
k
a + 2 P
w =
k
n z * (cos
+ i sin
), k =
,
1
,
0
,...,
2
n -1
k
n
n
Interpretacja geometryczna pierwiastków
Wszystkie pierwiastki leżą na okręgu o S(0,0) i n
R = z i są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
- 5 -
Prowadzący:
Matematyka
11.10.08
mgr Barbara Pakleza
Wykład 1
semestr III
Przykład
1.
3 1 = ?
z = ,
1
z = ,
1 a = 0
w 1
3
0
0
w =
(cos
1
+ i sin ) = 1
0
3
3
w 0
P
P
3
2
2
w =
(cos
1
+ i sin
)
1
3
3
w 2
P
P
3
4
4
w =
(cos
1
+ i sin
)
2
3
3
Wielomian zmiennej zespolonej
Wielomianem stopnia n w dziedzinie zespolonej nazywamy wyrażenie postaci: 2
n
W ( z) = a + a z + a z + ... + a z n
0
1
1
n
Gdzie współczynniki a , a , a ,..., a ( a ¹ ) 0 Î Z, a Î Z
0
1
2
n
n
0
Twierdzenie
Jeżeli liczba z = x + yi jest pierwiastkiem wielomianu W ( z) n
o współczynnikach
rzeczywistych to liczba z = x - yi jest również pierwiastkiem.
Przykład
Rozwiąż równanie:
4
z + 2 3
z - 2 2
z - 2 z - 3 = 0
Bez trudu zauważymy, że W(1)=W(-1)=0 czyli 2 pierwiastki: z = , 1 z = -1
1
2
. W takim
razie W(z) dzieli się bez reszty przez ( z - )(
1 z + )
1 = 2
z -1 Þ z podzielenia uzyskany
wynik to 2
z + 2 z + .
3
Trójmian ten ma D < 0 , więc pierwiastki będą zespolone i zgodnie z poprzednim do siebie sprzężone
D = 4 -12 = -8 ® D = - 8 =
i
8 2 = 2 2 * i
- 2 + 2 i
2
z =
= 1
- +
i
2
3
2
- 6 -