Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
1
2
ODP
1000 exp(
t
e
)
ò −
=
dt
0
− 2
e t dt = [ F
)
1
(
Y
−
]5
,
0
Π , g
dzie Y
≅
1
N(0;
1
i
)
/
2 t
o wariancja →
ò1
2
0 → szukamy P
(0 < X < 2) ⋅ Π , g
dzie
m
X
a s
tandardo y
w r
ozklad n
ormalny
czyli s
prawdzam
y w tablicach [
: F ( 2)
5
,
0
ODP
2100
x
−
] Π →
≈
Zadanie 2
100 − Z 1
I. A =
t
20
100 − Z 1
w
= 100 −10 ⋅
= 75 → Z 1wyliczamy
1
10
20
Z
II . 1
00(1 − r)10
2
= 100
= 75 → Z
2 wyliczamy
100
Z
Obliczenia p
omocnicze P
: (1- r)20 = Z → (1 − r)10 =
8
1
( 00 − Z )
3 ⋅ 2 1
( 1 + 2 )
0
III . 1
00 −
⋅
⋅10 = 75 → Z
3 wyliczamy
20 ⋅ 21
2
n( n + )
1
(100 − Z )32
Obliczenia p
omocnicze :
H = 100 − Z , 3 H =
2
n( n + )
1
Ostatecznie: Z1+Z2+Z3 równa się około 172
Zadanie 3
5 + t
v w o
kresi
e t wynos
i 6 + t
6 + t
1
( + i
) w o
kresi
e t wynosi :5 + t
15
6
6 7
6 7 8
6 7
14
6
6
6
6
6
R
1
...
1
...
0 =
+ +
+
+ +
⋅⋅⋅
= + + + + +
= å
7
7 8
7 8 9
7 8
15
7
8
9
15
t
t =6
15
15
6 7 8
8
R
2 = å
= å
t
t
t =
6 7
6
t =6
Zadanie 4
1
11
mod
11
mod
11
1
( + i) −
1 r
- ent .w c
iagu 1
1 l
at = i
→ v =
d
= 1− v
mod
1 + i
X
X
2
11
11
22
ODP = R v + R v + ... + R v + v X + v X + ... =
=
1
2
11
11
mod
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
1 − v
d
X
X = v + 2 v 2 + v 3 + v 4 + 2 v 5 + v 6
3
+ 2 v 7 + v 8 + v 9 + 2 v 10 + v 11
4
1
4
2
3
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
1
4
4 2
4
4 3
A
B
C
2
2
3
A = v + v + v + v = v 1
( + v)
2
+ v 1
( + v) = 1
( + v)(
2
v + v ) = a&
& a
2
2
3
B = v (
2
2
3
3
3
4
4
5
v + v + v + v + v + v + v + v + v ) 3
= v (
2
3
2
3
4
3
4
5
v + v + v + v + v + v + v + v + v ) =
3
= v [ v 1
(
2
+ v + v )
2
+ v 1
(
2
+ v + v )
3
+ v 1
(
2
+ v + v )] 3
= v (
2
3
v + v + v ) 1
(
2
+ v + v )
3
= v a a&&
3
3
8
8
C = v A = v 1
( + v)(
2
v + v )
3
8
X = a&
& a + v a a&
& + v a&
& a
2
2
3
3
2
2
Zadanie 5
1. α [ v + v 2
2
+ ... + 4 v 49
9
+ 5 v 50
0
+ 4 v 51
9
+ ... + v 99 ]= K
2. β [ v + v 2
2
+ ... + 4 v 49
9
+ 5 v 50
0
+ 5 v 51
0
+ ... + v 100 ]= K
é
49 − a ù
1. α ê Ia + v 50
49 ú = K
ë 50
i
û
é
50 − a ù
2. β ê Ia + v 50
50 ú = K
ë 50
i
û
Z tego wynika:
50 − a
Ia
+ v 50
50
50
α
i
=
β
49 − a
Ia
+ v 50
49
50
i
n − a
Poboczne wyliczenia: nv + ( n − ) 1 2
v + ... + vn
n
=
to z
nany f
akt
i
Po wstawieniu danych do wzoru wychodzi 1,0025
Zadanie 6
0,2
pomoc : e
= exp(ò2 1,
0 tdt)
0
ïì P
α 1,
1 52 + 1
( − α )
0,2
Pe
= 20000
0 ⋅ 2
í
ïî2 P
α 1,
1 52 + 1
( − 2α )
0,2
Pe
= 205000
ïì2 ⋅ 1
,
1 52 P
α + 2 0,2
Pe
− 2
0,2
P
α e = 400000
íïî2⋅ 1,152
0,2
P
α + Pe − 2
0,2
P
α e = 205000
odejmujemy s
tronami
0,2
Pe
= 195000
195000
P =
≈ 160000
0,2
e
Zadanie 7
æ
d ö
( i
) ç a
i
a
n −
÷ 1
( + ) = n 1−
è
δ ø
1 − n
v
i
1
n 1
−
+ i − v − i 1
n 1
−
−
L =
v
1
( + i) −
=
=
= a T
AK
n 1
−
δ
δ
δ
δ
d
( ii
) NIE b
o : i = 1− d
d
1 − d + d
1
( i) =
=
2
2
dd
1
( − d )
v
( iii
) T
AK b
o :
2
n
2
3
n
n 1
( Da)
Ia
nv
n
v
v
v
v
v
nv
n
v
n + (
)
=
+ ( − )
1
+ ... +
+ + 2 + 3 + ... +
+ ( + )
1
+ =
n 1
+
2
n
n 1
= ( n + )
1 v + ( n + )
1 v + ... + ( n + ) 1 v + ( n + )
1
+
v
= ( n + )
1 a
= ( n + a
v
n +
n
n+
[
1
)
1
+
1
]
i
( v
) NIE b
o :
( )
æ i
i ö
m
a&
&
= ç
+ ÷ a
n
( m)
n
è i
m ø
Zadanie 8
ïì L = R a
1
í
2 n; i
ïî R a
P
R a
1
n ; i +
= 2 2 n; j
Z tego wynika:
Lan; i + P = R a ⋅a 2
2 n; j
2n; i
a 2 n i;
La
+ Pa
= R a
⋅ a
n i
;
2 n i
2
;
2 n; j
2 n i
;
R a
⋅ a
− La = Pa
2
n i
2 n; j
2 n i
;
;
2 n; i
1
1
=
→ odpowiedź A
p
rawdziwa
L
P
Zadanie 9
iF ( v + 2 v 2 + ... + nvn ) + nCvn DO =
iF ( v + ... + vn ) + Cvn v + 2 v 2 + ... + nvn A
DK =
=
v + v 2 + ... + vn B
nCv n
A +
DO
B
iF
=
⋅
DK
Cv n
A
B + iF
BnCv n
+
n
n
n
n
AB
BnCv
ACv
BnCv
ACv
Bn > A o
-
czywiste
iF
→
>
→ AB +
> AB +
→
> 1 →
iF
iF
iF
iF
ACv n
AB + iF
DO
→
> 1 → DO > DK z awsze
DK
Zadanie 10
ïì P = 60 a
1000 v
n +
n
í
ïî P + 50 = 60 a +
2 n
100 v
0
2 n
Stąd:
60 1
( − n
v )
60 1
(
2
− n
v
n
)
+1000 v =
+1000 2 n
v
− 50 → n
v = 5
,
0
0
,
0 5
0
,
0 5
1 − 5
,
0
P = 60
+1000 ⋅ 5
,
0
= 1100
0
,
0 5