Zadania przygotowawcze do kolokwium Uwaga: Wśród poniższych zadań nie ma nic o warunkowej wartości ocze-kiwanej i jest tylko jedno zadanie na CTG. Zagadnienia te sa poruszane w

,

zadaniach na trzecia kartkówke.

,

,

1. Dany jest ciag (X

,

n) zmiennych losowych, taki, że P(limn→∞ Xn =

−∞) = p, P(limn→∞ Xn = 0) = q, P(limn→∞ Xn = ∞) = r, przy czym p + q + r = 1. Zbadać asymptotyczne zachowanie sie ciagu dystrybuant X

,

,

n.

Czy (Xn) jest zbieżny wed lug rozk ladu?

2. Dane sa ciagi (X

,

,

n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym (Xn) oraz (Xn + Yn) sa zbieżne wed lug rozk ladu.

,

a) Czy (Yn) jest zbieżny wed lug rozk ladu?

b) Jaka jest odpowiedź w a), jeśli za lożymy, że dla każdego n ≥ 1 zmienne Xn oraz Yn sa niezależne?

,

3. Dane sa ciagi (X

,

,

n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym (Xn) jest zbieżny wed lug rozk ladu do X i P(limn→∞ Yn = ∞) > 0.

a) Udowodnić, że ciag (X

,

n + Yn) nie jest zbie żny wed lug rozk ladu.

b) Udowodnić, że jeśli P(X 6= 0) = 1, to (XnYn) nie jest zbieżny wed lug rozk ladu.

4. Niech (Xn) bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie

,

,

Cauchy’ego. Wyznaczyć gestość zmiennej losowej

,

X1 + X2 + . . . + X100 .

10

5. Za lóżmy, że ϕ jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu w

,

,

R.

Czy wynika stad, że

,

a) Reϕ+Imϕ,

b) eϕ−1,

c) eϕ4−1,

d)

2

,

ϕ2+1

jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu na prostej?

,

,

6. Dane sa ciagi (X

,

,

n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1

zmienne Xn oraz Yn sa niezależne, X

,

n ma rozk lad Poissona z parametrem 1 + 2/n, a Yn ma rozk lad jednostajny na odcinku [−n, n + 2]. Czy ciagi

,

(2Yn/nXn), (Xn + e−Y 2n) sa zbieżne wed lug rozk ladu? Dla jakich wartości pa-

,

rametru α ∈ R, ciag (Xn+Yn ) jest zbieżny?

,

nα

7. Zmienne losowe (εn) sa niezależne i maja ten sam rozk lad

,

,

P(εn =

−1) = P(εn = 1) = 1/2. Czy ciag

,

P

ε

i<j≤n

iεj ,

n = 2, 3, . . . ,

n

jest zbieżny wed lug rozk ladu? Jeśli tak, wyznaczyć rozk lad graniczny.