Zadania przygotowawcze do kolokwium Uwaga: Wśród poniższych zadań nie ma nic o warunkowej wartości ocze-kiwanej i jest tylko jedno zadanie na CTG. Zagadnienia te sa poruszane w
,
zadaniach na trzecia kartkówke.
,
,
1. Dany jest ciag (X
,
n) zmiennych losowych, taki, że P(limn→∞ Xn =
−∞) = p, P(limn→∞ Xn = 0) = q, P(limn→∞ Xn = ∞) = r, przy czym p + q + r = 1. Zbadać asymptotyczne zachowanie sie ciagu dystrybuant X
,
,
n.
Czy (Xn) jest zbieżny wed lug rozk ladu?
2. Dane sa ciagi (X
,
,
n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym (Xn) oraz (Xn + Yn) sa zbieżne wed lug rozk ladu.
,
a) Czy (Yn) jest zbieżny wed lug rozk ladu?
b) Jaka jest odpowiedź w a), jeśli za lożymy, że dla każdego n ≥ 1 zmienne Xn oraz Yn sa niezależne?
,
3. Dane sa ciagi (X
,
,
n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym (Xn) jest zbieżny wed lug rozk ladu do X i P(limn→∞ Yn = ∞) > 0.
a) Udowodnić, że ciag (X
,
n + Yn) nie jest zbie żny wed lug rozk ladu.
b) Udowodnić, że jeśli P(X 6= 0) = 1, to (XnYn) nie jest zbieżny wed lug rozk ladu.
4. Niech (Xn) bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie
,
,
Cauchy’ego. Wyznaczyć gestość zmiennej losowej
,
X1 + X2 + . . . + X100 .
10
5. Za lóżmy, że ϕ jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu w
,
,
R.
Czy wynika stad, że
,
a) Reϕ+Imϕ,
b) eϕ−1,
c) eϕ4−1,
d)
2
,
ϕ2+1
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu na prostej?
,
,
,
,
n), (Yn) zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1
zmienne Xn oraz Yn sa niezależne, X
,
n ma rozk lad Poissona z parametrem 1 + 2/n, a Yn ma rozk lad jednostajny na odcinku [−n, n + 2]. Czy ciagi
,
(2Yn/nXn), (Xn + e−Y 2n) sa zbieżne wed lug rozk ladu? Dla jakich wartości pa-
,
rametru α ∈ R, ciag (Xn+Yn ) jest zbieżny?
,
nα
7. Zmienne losowe (εn) sa niezależne i maja ten sam rozk lad
,
,
P(εn =
−1) = P(εn = 1) = 1/2. Czy ciag
,
P
ε
i<j≤n
iεj ,
n = 2, 3, . . . ,
n
jest zbieżny wed lug rozk ladu? Jeśli tak, wyznaczyć rozk lad graniczny.