Wykład 3. Wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
3.1. Wzór de Moivre’a
Przypomnijmy sobie posta ć trygonometryczną ( definicja 2.2.4. ) i wykładniczą ( definicja 2.3.1. ) liczby zespolonej.
Dygresja: Przypomnie ć ze szkoły średniej funkcje trygonometryczne oraz wzory redukcyjne.
Własność 3.1.1. Uzupełnienie do algebry liczb zespolonych z1, z2 w postaci trygonometrycz-nej i wykładniczej:
1. mnożenie liczb zespolonych ( rysunek) z1·z2 = |z1| |z2| (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)) z1 · z2 = |z1| |z2| ei(φ1+φ2)
2. dzielenie liczb zespolonych ( rysunek) z1
|z
=
1| (cos (φ1 − φ2) + i sin (φ1 − φ2)) z2
|z2|
z1
|z
=
1|ei(φ1−φ2), z2 6= 0
z2
|z2|
Definicja 3.1.1. Dla φ ∈ R mamy nast ępującą zale żnoś ć ( rysunek)
eiφ = cos φ + i sin φ
Własność 3.1.2. Mając dane φ1, φ2 ∈ R oraz k ∈ Z uzyskujemy:
1. ei(φ1+φ2) = eiφ1eiφ2
2. ei(φ1−φ2) = eiφ1
eiφ2
k
3.
eiφ1
= eikφ1
4. ei(φ1+2kπ) = eiφ1
5. eiφ1 6= 0
6. eiφ1 = eiφ2 ⇔ φ1 = φ2 + 2kπ
7. eiφ1 = 1
8. arg eiφ1 = φ1 + 2kπ
Własność 3.1.3. Dla x ∈ R są prawdziwe wzory Eulera:
eix + e−ix
eix − e−ix
cos x =
,
sin x =
2
2i
(Postarajmy si ę udowodni ć powyższe wzory - na-le ży skorzysta ć z definicji 3.1.1. ) Własność 3.1.4. ( Pot ęgowanie liczb zespolonych
- wzór de Moivre’a) Mając dane z = |z| (cos φ + i sin φ) (|z| , φ ∈ R,
|z| 6= 0)
oraz n ∈ N otrzymujemy
zn = (|z|)n (cos nφ + i sin nφ)
Dygresja: pot ęgowanie liczby zespolonej - mo-duł pot ęgujemy, a argument mnożymy przez pot ęg ę ( rysunek). Podobnie mamy dla postaci wykładniczej, tzn.
zn = (|z|)n ei nφ
( Dokonaj przekształce ń pomi ędzy różnymi po-staciami liczb zespolonych. )
3.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 3.2.1. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N liczby zespolonej a ∈ C nazywamy każdą liczb ę zespoloną z ∈ C, która spełnia równoś ć zn = a.
√
1
Dygresja: Można zapisa ć z = n a = an, ale dla liczb zespolonych to jest zapis niejednoznaczny.
R
C
√
√
16 = 4
16 = {−4, 4}
4
√1 = 1
4
√1 = {−1, −i, 1, i}
√
√
−1 - nie ma
−1 = {−i, i}
√
√
n
x4 = x2
z4 = −z2, z2o
√
√
x2 = |x|
z2 = {−z, z}
Własność 3.2.1. Można powiedzie ć, że liczba zespolona z = |z| (cos φ + i sin φ)
(|z| > 0, |z| , φ ∈ R) posiada dokładnie n pierwiastków stopnia n (n ∈ N). Inaczej przedsta-wiając
√
n z = {z0, z1, . . . , zn−1} ,
gdzie
1
φ + 2kπ
φ + 2kπ
zk = (|z|)n cos
+ i sin
,
n
n
dla k ∈ N i k = 0, 1, . . . , n − 1.
Własność 3.2.2. ( Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki tworzą n−kąt foremny wpisany 1
w koło o promieniu (|z|)n .
Przypomnienie - funkcje trygonometryczne 1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie φ ∈ h0, 2πi .
2. Wstaw w tabelk ę odpowiednie wartości funk-cji
φ
0
1
6π
1
4π
1
3π
1
2π
2
3π
3
4π
5
6π
π
sin φ
cos φ
tgφ
ctgφ
φ
7
6π
5
4π
4
3π
3
2π
10
6 π
7
4π
11
6 π
2π
sin φ
cos φ
tgφ
ctgφ
3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonometryczne? Wypisz wzory redukcyjne.
4. Na ćwiczeniach wykorzystuj nast ępujące wzory: cos2 φ+sin2 φ = 1,
cos2 φ−sin2 φ = cos 2φ
i wiele innych.
• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-
stochowa 2001.
• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.
• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.
• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.