Temat : Interpolacja i aproksymacja
Wymagane obliczenia należy przeprowadzić “ręcznie” (tj. używając “kalkulatora” a nie gotowego programu generującego ostateczny wynik).
Każdy student rozwiązuje inny przykład liczbowy, oznaczony numerem odpowiadającym numerowi nazwiska studenta na liście. Każda grupa laboratoryjna ma oddzielny zestaw zadań (przykłady zamieszczone są w dalszej części, po opisie zadań do wykonania).
W przypadku problemów obliczeniowych proszę skontaktować sie z prowadzącym zajęcia.
Podpisany konspekt z wynikami obliczeń i wnioskami należy oddać prowadzącemu zajęcia
przed laboratorium poświęconym rozwiązywaniu układów równań liniowych.
Zadanie 1: Interpolacja wielomianowa
Wyznaczyć współczynniki wielomianu Pn(x), przechodzącego przez N=n+1 punktów o podanych współrzędnych (x0,y0), (x1,y1) ... (xn,yn), stosując interpolację Lagrange’a.
W rozwiązaniu proszę podać:
- postaci wszystkich wielomianów Li (i=0,...n);
- ostateczną postać Pn(x) ;
- sprawdzenie interpolacji, poprzez obliczenie wartości wielomianu w punktach x0, x1, ... ,xn ;
- rysunek (szkicowy) punktów i wielomianu interpolacyjnego.
Zadanie 2: Aproksymacja wielomianowa (regresja liniowa)
Wyznaczyć współczynniki prostej f(x)=a0+a1 x, najlepiej aproksymującej (w sensie najmniejszych kwadratów) zbiór punktów, podany w zadaniu 1.
W rozwiązaniu proszę podać:
- układ równań, umożliwiający wyznaczenie poszukiwanych współczynników (do jego rozwiązania można zastosować Scilab);
- sumaryczny błąd aproksymacji, dodając do siebie bezwzględne wartości odchyłek f(xi)-yi w rozważanych punktach;
- średni błąd aproksymacji w punkcie, obliczony dzieląc błąd sumaryczny przez liczbę punktów;
- rysunek (szkicowy) punktów i uzyskanej prostej.
GRUPA 1
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy (patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium) Nr zestawu
L. punktów
Współrzędne punktów (xi,yi)
1
3
(1,5) (3,0) (8,4)
2
3
(4,5) (6,9) (9,4)
3
3
(-1,5) (3,9) (8,4)
4
3
(1,5) (2,9) (6,4)
5
3
(1,6) (4,0) (7,4)
6
3
(-2,5) (3,9) (7,3)
7
3
(4,2) (6,9) (9,9)
8
3
(-1,6) (1,0) (7,4)
9
3
(1,-5) (4,9) (8,1)
10
3
(-1,5) (3,0) (8,4)
11
3
(1,5) (3,9) (8,4)
12
3
(-1,5) (2,9) (5,4)
13
3
(1,2) (3,9) (8,4)
14
3
(-1,5) (2,9) (6,4)
15
3
(4,2) (6,4) (8,9)
16
3
(1,5) (2,9) (8,3)
17
3
(1, -2) (3, 4) (5,-3 )
18
3
(-1, 2) (4,3 ) (8, -2)
19
3
(-5, 0) (-2, -1) (6,-4 )
20
3
(4, 4) (5,10 ) (8, 12)
3
(-1, 0) ( (6, 5) (8,-3 )
22
3
(-4, 2) (7, -4) (9, 3 )
23
3
(-5, -2) (6,-3 ) (10, 0)
24
3
(-3, 2) (5, 5) (8, 0 )
25
3
(0, -2) (2, -1) (7, 8)
GRUPA 2
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy (patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium) Nr zestawu
L. punktów
Współrzędne punktów (xi,yi)
1
3
(1, -2) (3, 4) (5,-3)
2
3
(-1, 2) (2, 4) (4,3)
3
3
(-2, -1) (0, 4) (6,-4)
4
3
(3, 12) (4, 4) (5,10)
5
3
(1, -12) (6, 5) (8,-3)
6
3
(-4, 2) (7, -4) (9, 3)
7
3
(-3, -2) (4, 4) (5,-3)
8
3
(-5, -2) (0, 5) (6,-3)
9
3
(-3, 2) (5, 5) (8, 0)
10
3
(2, -1) (7, 8) (9, 0)
11
3
(4, 12) (6, 4) (9, 0)
12
3
(3, -1) (6, 6) (9,-3)
13
3
(-3, 2) (5, 0) (6, 3)
14
3
(5, -2) (8, 3) (10,-3)
15
3
(0, -2) (4, 4) (8, -4)
16
3
(-2, 0) (3, 5) (5, -4)
17
3
(-4, 0) (3, 7) (8, -3)
18
3
(5, 2) (8, 4) (10, -2)
19
3
(-6, 5) (3, 9) (8, 0)
20
3
(0, 7) (3, -6) (7,-3)
21
3
(-5, -2) (0, 5) (10, 0)
3
(-5, -2) (-3, 2) (8, 0 )
23
3
(0, -2) (2, -1) (9, 0 )
24
3
(-1, 2) (2, 4) (8, -2)
25
3
(-2, -1) (0, 4) (6,-4 )
GRUPA 3
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy (patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium) Nr zestawu
L. punktów
Współrzędne punktów (xi,yi)
1
3
(2,2) (6,4) (8,2)
2
3
(-2,5) (3,9) (8,0)
3
3
(2,-2) (6,4) (7,2)
4
3
(-1,5) (2,-9) (5,-4)
5
3
(1,5) (4,9) (8,-1)
6
3
(-2,5) (3,9) (7,-3)
7
3
(4,-2) (6,9) (9,-8)
8
3
(-1,-6) (1,0) (7,-4)
9
3
(-2,5) (3,9) (8,3)
10
3
(-1,5) (4,-9) (5,-4)
11
3
(1,5) (7,9) (8,-1)
12
3
(2,5) (4,-9) (5,-4)
13
3
(2,5) (7,9) (8,1)
14
3
(1,5) (3,9) (8,0)
15
3
(1,6) (4,0) (7,4)
16
3
(-2,5) (3,9) (7,3)
17
3
(1,5) (3,9) (8,4)
18
3
(-1,5) (2,9) (5,4)
19
3
(1,2) (3,9) (8,4)
20
3
(-1,5) (2,9) (6,4)
21
3
(4,2) (6,4) (8,9)
3
(0, -2) (2, -1) (7, 8)
23
3
(4, 12) (6, 4) (10, 10)
24
3
(3, -1) (6, 6) (10, -4)
25
3
(-3, 2) (5, 0) (9, 6)
26
(5, -2) (8, 3) (12, -6)
GRUPA AWANS
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy (patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium) Nr zestawu
L. punktów
Współrzędne punktów (xi,yi)
1
3
(1, -2) (2, 4) (5,-1)
2
3
(-1, 2) (1, 4) (4,2)
3
3
(-2, -1) (0, 4) (6,-5)
4
3
(-3, -2) (2, 4) (5,-2)
5
3
(-4, -2) (0, 5) (6,-2)
6
3
(-3, 2) (4, 5) (8, 0)
7
3
(4, -1) (5, 6) (9,-3)
8
3
(-1, 2) (4, 0) (6, 3)