WYKŁAD 8
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Wektory a zmiana baz
2
2
Przekształcenia liniowe a zmiana baz
3
2.1
Macierze tego samego przekształcenia . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy . . . . . . .
5
1
Wektory a zmiana baz
Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K.
Przez B i B0 oznaczmy dwie bazy tej przestrzeni. Niech B = ( b 1 , . . . , bn) B0 = ( b0 , . . . , b0 ) 1
n
Załóżmy najpierw, że wektor x ma dwa rozwinięcia względem obu baz tej przestrzeni:
n
x = X ξi·bi
i=1
oraz
n
x = X ξ0 ·b0 .
i
i
i=1
Interesuje nas teraz związek między współrzędnymi tego wektora względem baz X i X 0.
Jeśli A : V −→ V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A( bi) = b0i i A, gdzie A = [ αij], jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X 0, to
n
n
n
n
x = X X α
X
X
ij ·ξj ·bi =
ξ ·α
·b
ij
i
j=1 i=1
i=1
j=1
Oznacza to równości
n
ξ0 = X α
i
ij ·ξj .
j=1
Zatem, jeśli [ x] B oznacza ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B, natomiast [ x] 0B — ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B0, to
[ x] TB = A •[ x] TB0
lub
[ x] B0 = [ x] B • A T
2
Załóżmy teraz, że ustalony ciąg współrzędnych [ ξ 1 , . . . , ξn] tworzy dwa wekto-ry x i xx0 jako rozwinięcia tych wektorów względem obu baz tej przestrzeni: n
n
x = X ξ
X
ibi
i x0 =
ξib0i
i=1
i=1
Jeśli A : V −→ V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A( bi) = b0, i
to
n
n
n
!
x0 = X ξ0 ·b0 = X ξ ·A( b
X ξ·A( b
= A( x) .
i
i
i) = A
i
i=1
i=1
i=1
Udowodniliśmy, że w takim przypadku x0 = A( x).
2
Przekształcenia liniowe a zmiana baz
2.1
Macierze tego samego przekształcenia
Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowy-mi nad ciałem K.
Przez A i A0 oznaczmy bazy przestrzeni V , a przez B i B0 — dwie bazy przestrzeni W .
Niech A : V −→ V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie, przekształcającym bazę A na bazę A0. Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym A = [ αij]
.
i,j¬n
Niech B : W −→ W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie, przekształcającym bazę B na bazę B0. Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym B = [ βij]
.
i,j¬n
Niech F : V −→ W będzie przekształceniem liniowym. Jeśli F, gdzie h
i
F = φij A,B
3
jest macierzą przekształcenia F względem baz A i B oraz F 0, gdzie h
i
F 0 = φ0ij A0,B0
jest macierzą przekształcenia F względem baz A0 i B0, to F 0 = B − 1 • F • A .
D o w ó d. Obliczmy F ( a0 ): j
m
m
F ( a0 ) = X φ0 b0 = X φ0 B ( b
j
ij
i
ij
i) =
i=1
i=1
m
m
m m
!
= X φ0 X β
X
X β
b
ij
kibk =
kiφij
k .
i=1
k=1
k=1
i=1
Obliczmy inaczej F ( a0 ): j
n
!
n
F ( a0 ) = F A( a
= F
X α
= X α
j
j )
ij ai
ij F ( ai) =
i=1
i=1
n
n
m n
!
= X α X
X
X
ij
φkibk =
φkiαij bk.
i=1
k=1
k=1
i=1
Obliczone wartości są rozwinięciami wektora F ( a0 ), są więc równe. Zatem j
m
m
X β
X
kiφij =
φkiαij,
i=1
i=1
a to oznacza, że odpowiednie macierze są równe, czyli B • F = F • A , skąd wynika teza twierdzenia.
4
Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowy-mi nad ciałem K. Załóżmy, że
dim V = n i dim W = m.
Przez A i A0 oznaczmy bazy przestrzeni V , a przez B i B0 — dwie bazy przestrzeni W .
Niech A : V −→ V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie, przekształcającym bazę A na bazę A0. Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym A = [ αij]
.
i,j¬n
Niech B : W −→ W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie, przekształcającym bazę B na bazę B0. Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym B = [ βij]
.
i,j¬n
Niech F, gdzie
F = [ φij]
,
i¬m,j¬n
będzie ustaloną macierzą o podanych wymiarach.
Niech F : V −→ W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą wzglę-
dem baz A i B jest macierz F, natomiast funkcja F 0 : V −→ W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą względem baz A0 i B0 jest też macierz F.
Wtedy
F 0 = B ◦ F ◦ A− 1 .
D o w ó d. Z założeń wynika, że
m
m
F ( a
X
X
j ) =
φijbi i F 0( a0 ) =
φ
.
j
ij b0i
i=1
i=1
5
F 0 ◦ A( aj) = F 0 A( aj) = F 0( a0 ) j
oraz
m
m
m
B ◦ F ( a
X
X
X
j ) = B F ( aj )
= B
φ
φ
φ
ij bi =
ij B( bi) =
ij b0 = F 0( a0 ) .
i
j
ij
i=1
i=1
Wynika stąd, że F 0( a0 ) = B ◦F ( a
j
j ). Ponieważ dla wektorów bazy przekształ-
cenia liniowe B ◦F i F 0 ◦A są równe, więc są one równe w całej przestrzeni V .
Wnioskujemy stąd, że
F 0 = B ◦ F ◦ A− 1 .
6