Egzamin pisemny z matematyki Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010
Cz¸
eść zadaniowa
Zad.Z1. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć R yxdx + xdy,
L
gdzie L jest lukiem elipsy 4x2 + y2 = 4 skierowanym ujemnie.
Zad.Z2. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
√
Obliczyć mas¸e luku krzywej L : {y = 2 x, x ∈ [0, 3]}, której g¸estość wyraża si¸e wzorem ρ(x, y, z) = xy .
2
Zad.Z3. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Napisać równanie prostej binormalnej i p laszczyzny ściśle stycznej do krzywej o równaniu
~r(t) = [3 cos t − 2t, sin 2t + 3t, et + 1]
w punkcie M0 odpowiadaj¸acym t0 = 0. Czy punkt M0 jest punktem sp laszczenia krzywej ~r(t)?
Zad.Z4. [7p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Obliczyć f (32)(2) dla funkcji f (x) =
1
.
x2−4x+8
Zad.Z5. [9p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
Niech
Cx3
x ∈ (0, 2)
f (x) =
0
x /
∈ (0, 2)
b¸edzie g¸estości¸a rozk ladu zmiennej losowej X. Wyznaczyć sta l¸a C. Znaleźć wzór na dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Obliczyć P (X ≤ 1) oraz EX i D2X.