Egzamin pisemny z matematyki Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć R yxdx + xdy,

L

gdzie L jest lukiem elipsy 4x2 + y2 = 4 skierowanym ujemnie.

Zad.Z2. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

√

Obliczyć mas¸e luku krzywej L : {y = 2 x, x ∈ [0, 3]}, której g¸estość wyraża si¸e wzorem ρ(x, y, z) = xy .

2

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Napisać równanie prostej binormalnej i p laszczyzny ściśle stycznej do krzywej o równaniu

~r(t) = [3 cos t − 2t, sin 2t + 3t, et + 1]

w punkcie M0 odpowiadaj¸acym t0 = 0. Czy punkt M0 jest punktem sp laszczenia krzywej ~r(t)?

Zad.Z4. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Obliczyć f (32)(2) dla funkcji f (x) =

1

.

x2−4x+8

Zad.Z5. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Niech





Cx3

x ∈ (0, 2)

f (x) =



0

x /

∈ (0, 2)

b¸edzie g¸estości¸a rozk ladu zmiennej losowej X. Wyznaczyć sta l¸a C. Znaleźć wzór na dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Obliczyć P (X ≤ 1) oraz EX i D2X.