Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa dla bioinżynierów IB 1 rok
dr hab. Henryk Gacki
Zestaw 1
ZADANIE 1. Przyjmując, że gen może przybierać dwie formy A i a, obliczyć, ile może utworzyć się różnych połączeń genów w pary (genotypów).
A) 3
B) 4
C)
0
D) 1
ZADANIE 2. Rodzice ze względu na pewną cechę sa heterozygotami, czyli są typu Aa. Jakich typów potomków należy oczekiwać w pierwszym pokoleniu przyjmując, że rodzice kojarzą się losowo.
A) AA, Aa, aa
B) Aa
C)
Aa, AA
D) AA, aa
ZADANIE 3. . Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że ojciec jest chory na pewną chorobę, a B, że matka jest chora na tę chorobę. Jak zapiszemy za pomocą symboli zdarzenie, że jedno z rodziców jest chore na tę chorobę.
A) ( A ∩ ¯
B) ∪ ( ¯
A ∩ B)
B) ( A ∪ ¯
B) ∩ ( ¯
A ∪ B)
C) ( A ∪ B)
D) ( A ∩ B) .
ZADANIE 4. . Dla dowolnego n > 1 suma :
n!
n !
n!
n!
( − 1) n− 1 n
+ . . . + ( − 1) n−k− 1( n − k)
+ . . . − 2
+
= 0 ,
n
n − k
2
1
jest równa:
A) 2 n
B) 2
C) 0
D) 1
ZADANIE 5. W którym wyrazie rozwinięcia dwumianu
1
2 12
x 3 + x
nie występuje x?
A) 5
B) 2
C) 10
D) 4
ZADANIE 6. Na ile sposobów można ustawić n-osób w koło.
A) n!
B) ( n − 1)!
C) ( n + 1)!
D) (2 n)!
ZADANIE 7. Ile jest sposobów ustawienia białych figur : 2 wież, 2 skoczków, 2 gońców, hetmana i króla na pierwszej linii szachownicy.
A)
8!
B)
8!
C) 8!
D) 8!
2!2!2!2!
2!2!2!
3!2!
ZADANIE 8. Mecz piłki nożnej rozpoczyna drużyna w składzie 11 zawodników. Trener moze wymienić w trakcie gry do trzech zawodników własnej drużyny. W ilu różnych składach może zakończyć spotkanie ta drużyna, jeżeli trener dysponuje pięcioma zawodnikami rezerwowymi?
A) 1200
B) 2256
C) 11
5
D) 11
5
+ 11
5
+ 11
5
3
3
1
1
2
2
3
3
1
ZADANIE 9. Stosunek liczby permutacji bez powtórzeń z ( n + 4) elementów do liczby permutacji bez powtórzeń z ( n + 2) elementów wynosi 30. Wyznacz n.
ZADANIE 10.
1. Ile jest sposobów ustawienia białych figur : 2 wież, 2 skoczków, 2 gońców,
hetmana i króla na pierwszej linii szachownicy.
2. Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr liczby 246 246.
3. Ile liczb pięciocyfrowych większych od 40 000 można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5 tak aby cyfry nie powtarzały się.
ZADANIE 11. Oblicz liczbę wszystkich różnych pochodnych cząstkowych szóstego rzędu funkcji f ( x, y, z) = x 3 exp( y + z cos x) + ( xy sin z)10 .
ZADANIE 12.
1. Na ile różnych sposobów można uporządkować liczby { 1 , 2 , . . . 10 } tak aby 1 , 2 były ustawione:
a) obok siebie
b) obok siebie w kolejności wzrastania.
2. Ile jest ciągów n wyrazowych o wyrazach 1 , 0 , − 1 takich, że występuje w nich co najwyżej jeden wyraz równy 0 i suma jego wyrazów jest równa 0.
3. Na ile sposobów można wybrać ze zbioru { 1 , 2 , . . . n} kolejno losując (bez zwracania) dwie liczby tak, że iloraz pierwszej wybranej liczby przez drugą należy do przedziału (1 , 2] .
ZADANIE 13. Mając do dyspozycji siedem spółgłosek i pięć samogłosek, tworzymy słowa o czterech spółgłoskach i pięciu samogłoskach. Oblicz, ile takich słów ułożymy.
ZADANIE 14. (Model Maxwella-Boltzmana)
Rozmieszczono k-rozróżnialnych cząstek w n-rozróżnialnych komórkach. Obliczyć liczbę moż-
liwych sposobów rozmieszczenia, jeżeli nie ma ograniczenia na liczbę cząstek, które mogą się znaleźć w jednej komórce.
ZADANIE 15. (Model Bosego-Einsteina)
Rozmieszczono k-nierozróżnialnych cząstek w n-rozróżnialnych komórkach. Obliczyć liczbę moż-
liwych sposobów rozmieszczenia, jeżeli nie ma ograniczenia na liczbę cząstek, które mogą się znaleźć w jednej komórce.
(model ten stosuje się np. do fotonów).
ZADANIE 16. (Model Fermiego-Diraca)
Rozmieszczono k-nierozróżnialnych cząstek w n-rozróżnialnych komórkach. Obliczyć liczbę moż-
liwych sposobów rozmieszczenia, jeżeli w każdej komórce może znajdować się co najwyżej jedna cząstka.
( model ten stosuje się do elektronów).
ZADANIE 17. Robotnik wyprodukował n- elementów pewnego urządzenia. Niech Ak, ( k =
1 , 2 , . . . n) polega na tym, że k-ty spośród wyprodukowanych przez niego elementów jest wadliwy.
Zapisać zdarzenie polegające na tym, ze:
1. żaden z elementów nie jest wadliwy,
2. co najmniej jeden z elementów jest wadliwy,
3. tylko jeden element jest wadliwy,
2
4. co najwyżej dwa elementy nie mają defektów,
5. dokładnie dwa elementy są wadliwe.
ZADANIE 18. Wybieramy losowo jedną osobę spośród studentów i studentek przybyłych na wykład. Niech zdarzenie A polega na tym, że osoba jest mężczyzna, zdarzenie B-że wybrana osoba nie pali papierosów, a zdarzenie C-że mieszka w akademiku
1. Opisać słownie zdarzenia A ∩ B ∩ ¯
C.
2. Przy jakich warunkach będzie zachodzić równość A ∩ B ∩ C = A?
3. Przy jakich warunkach będziemy mieli ¯
C ⊆ B?
4. Kiedy zachodzi równość ¯
A = B? Czy jest ona spełniona, gdy wszyscy mężczyźni palą?
ZADANIE 19. (Problem roztargnionej sekretarki)
Sekretarka napisała n-listów , które trzeba było wysłać do osób M 1 , M 2 , . . . , Mn. Włożyła je do kopert i koperty zakleiła. Zaklejone koperty się pomieszały, ale sekretarka mimo to wypisała na każdej kopercie po jednym adresie, po czym wysłała listy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 1. Każda z osób M 1 , M 2 , . . . , Mn otrzyma swój list.
2. Dokładnie4 ( n − 1) osób otrzyma przeznaczone do nich listy.
3. Żadna z osób nie otrzyma swojego listu.
Wskazówka: W przypadku (3) wykorzystać ”wzór włączeń i wyłączeń”.
.
ZADANIE 20. Dany jest prostopadłościan, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają długości 1, 1, 2. Niech Z oznacza zbiór złożony z ośmiu wierzchołków prostopadło-
ścianu oraz czterech środków dłuższych krawędzi prostopadłościanu. Spośród punktów zbioru Z
wybieramy 3 różne punkty. Zakładamy, że wybór każdej takiej trójki jest jednakowo prawdopodobny. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane punkty są wierzchołkami trójkąta rozwartokąt-nego.
ZADANIE 21. Partię stu wyprodukowanych przedmiotów poddaje się wyrywkowej kontroli.
Warunkiem odrzucenia całej partii jest znalezienie chociaż jednego wadliwego przedmiotu wśród pięciu sprawdzonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia zostanie odrzucona jeżeli zawiera 5% wadliwych wyrobów.
ZADANIE 22. Dozorca ma n kluczy, z których jeden pasuje do zamka. Klucze są wybierane i próbowane losowo bez powtórzeń. To postępowanie może wymagac 1, 2, . . . n prób. Pokazać, ze każdy z tych wyników ma to samo prawdopodobieństwo rowne 1 .
n
ZADANIE 23. Turysta chce rozpalić ognisko mając do wyboru dwie zapałki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska jedną zapałką jest równe 0.6 . Natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwoma zapałkami złączonymi jest równe 0.83 . Jak należy rozpalić ognisko: kolejno jedną zapałką potem drugą czy dwoma zapałkami razem?
ZADANIE 24. ∗ W pewnym mieście o (n + 1) mieszkańcach rodzi się plotka . Pierwsza osoba opowiada ją drugiej, ta trzeciej, itd. Za każdym razem osoba, której będzie opowiadana plotka jest wybierana przez losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po r ¬ n krokach plotka nie wróci do pierwszej osoby?
3
ZADANIE 25. ∗. (Oszacowanie liczebności zwierząt na podstawie powtórnych złapań) Zakładamy, że 1000 ryb złapanych w jeziorze oznakowano i wypuszczono. Po pewnym czasie dokonano nowego połowu 1000 ryb i znaleziono wśród nich 100 ryb oznakowanych.
Zakładając, że nasz wynik jest najbardziej prawdopodobny oszacuj nieznaną liczbę ryb w jeziorze.
(szacowanie parametrów metodą największej wiarygodności )
Uwaga . Zakładamy, że:
a) ilość ryb w jeziorze nie zmienia się między jednym a drugim połowem,
b) oba połowy traktujemy jako próby losowe (tzn. zakładamy, że każdy rozkład ryb złowionych za pierwszym czy też drugim razem jest jednakowo prawdopodobny)
ZADANIE 26. Rzucamy parą kostek sześciennych, przy czym jedna z nich jest czerwona, a druga zielona. jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, że suma oczek będzie nieparzysta?
ZADANIE 27. Turysta chce rozpalić ognisko mając do wyboru dwie zapałki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska jedną zapałką jest równe 0.6 . Natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwoma zapałkami złączonymi jest równe 0.83 . Jak należy rozpalić ognisko: kolejno jedną zapałką potem drugą czy dwoma zapałkami razem?
ZADANIE 28. Sześcian którego wszystkie ściany są pomalowane, rozpiłowano tworząc tysiąc sześcianików jednakowej wielkosci. Sześciniki te wymieszano dokładnie. obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany sześcianik będzie miał dwie ściany pomalowane.
ZADANIE 29. Na nieskończoną szachownicę o boku kwadratu równym a rzucamy monetę o średnicy 2 r < a. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że moneta przetnie co najwyżej jeden bok kwadratu.
ZADANIE 30. Thalasemia jest rodzajem anemii najczęściej występującej wśród ludności za-mieszkującej okolice Morza Śrdziemnego. Choroba ta występuje pod dwoma postaciamia; minor i major. Osobniki chore na thalasemia major są homozygotyczne TT pod względem zmienionego genu i umierają w wieku dziecięcym. Osoby chore na thalasemia minor są heterozygotyczne Tt. Jest to łagodna forma anemii, często niedoszczegalna. Osoby normalne są homozygotyczne tt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dzieci mężczyzny chorego na thalasemia minor i zdrowej kobiety będą zdrowe.
ZADANIE 31. Homofilia jest cechą sprzężona z płcia, to znaczy taką, która jest wywoływana przez geny leżące w chromosomach płciowych. Mężczyzna ma chromosomy płciowe XY, ko-bieta XX. Wobec tego u mężczyzn hemofilia jest cechą zawsze homozygotyczną i występuje w ostrej formie. U kobiet hemofilia nie jest dostrzegalna. Kobieta przekazuje potomkowi jeden z chromosomów X, mężczyzna X lub Y i w związku z tym płec potomka zależy od chromosomu przekazanego przez ojca. Jakie jest prawdopodobieństwo wystapienia hemofilii wśród dzieci z małżeństwa kobiety nie mającej objawów hemofilii, lecz której ojciec był chory na hemofilię, i zdrowego mężczyzny?
ZADANIE 32. W ciągu godziny centrala otrzymuje średnio 60 zgłoszen. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze w ciągu 30 s. nieobecności telefonistki w centrali nie będzie ani jednego zgłoszenia?
ZADANIE 33. Wyznacz stał¸
a A tak, aby funkcja
0
dla
x ¬ 0
f ( x) =
,
5 e−Ax
dla
x > 0
była g¸
estości¸
a prawdopodobieństwa.
4
ZADANIE 34. Dystrybuanta losowego czasu bezawaryjnej pracy aparatury radiowej ma postać (gęstość wykładnicza):
F ( x) = 1 − e−x
Jakie jest prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy aparatury w ciągu czasu T?
ZADANIE 35. Licznik Geigera-Millera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że prawdopodobieństwo zarejestrowania cząsteczki wynosi 0.001. W czasie obserwacji pre-parat wypromieniował 2000 cząsteczek. Oblicz prawdopodobieństwo zarejestrowania przez licznik braku cząstki.
ZADANIE 36. W celu zwiększenia niezawodności przyrządu, dubluje się go za pomocą (n-1) pracujących niezależnie takich samych przyrządów o niezawodności p każdy. Ile należy wziąść przyrządów, aby uzyskać niezawodność nie mniejszą niż 0.99 ?
ZADANIE 37. Prawdopodobieństwo, zachorowania na raka płuc w grupie osób palących wynosi 65% . Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba osób, które zachorują na raka płuc w grupie 500 osób, spośród których 40% pali.
ZADANIE 38. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego pojawienia się zdarzenia A przy czterech niezależnych doświadczeniach jest równe 0.59. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia sie zdarzenia A przy jednym doświadczeniu, jeżeli przy każdym doświadczeniu prawdopodobień-
stwo to jest takie samo?
ZADANIE 39. Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. gracz otrzymuje sześć krążków i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Znaleźć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka na kołek zostanie graczowi co najmniej jeden krążek, którego nie rzucał, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie jest równe 0.1.
ZADANIE 40. W pewnych określonych warunkach prwdopodobieństwo znaleźienia przez kon-trolera pasażera jadącego bez biletu jest p = 1 . Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A 2
znalezienia w określonych warunkach przynajmniej jednego pasażera jadącego bez biletu przez 10 pracujących niezależnie od siebie kontrolerów.
ZADANIE 41. W wyniku wieloletnich obserwacji ustalono, że w pewnej miejscowości prawdopodobieństwo deszczu w dniu 1 lipca wynosi 4 . Olicz najbardziej prawdopodobną ilość dni 17
deszczowych w dni 17 lipca w najbliższych 50 latach.
ZADANIE 42. Działko 1 w ciągu okreslonego czasu wyrzuca 60 pocisków z prawdopodobień-
stwem trafienia do celu równym 0.7 dla każdego strzału, a działko 2 wyrzuca w tym samym czasie tylko 50 pocisków z prawdopodobieństwem trafienia do celu 0.8. Dla którego z tych dział
najbardziej prawdopodobna ilość strzałów celnych jest większa?
ZADANIE 43. W Warszawie na Ursynowie ginie średnio 7 samochodów tygodniowo.Zakładamy, że ilość samochodów-n w Warszawie na Ursynowie jest dużą liczbą. Jaka jest szansa, ze jutro bedzie ”dzień bez kradzieży”, przy założeniu stalej intensywności działania złodziei?
ZADANIE 44. (Kombinacja rozkładu Bernulliego i rozkładu Poissona) Przypuśćmy, ze prawdopodobieństwo, iż jakiś owad składa r jajeczek, jest p( r, λ) i że prawdopodobieństwo rozwiniecia się jajeczek jest p. Przyjmując wzajemną niezależnosć jajeczek oblicz prawdopodobieństwo prze-
życia i rozwiniecia się ogółem k jajeczek.
5
ZADANIE 45. Wśród 100 mężczyzn jest 5, którzy nie rozróżniają kolorów, a wśród 1000 kobiet są 2, które nie rozróżniają kolorów (są daltonistami). Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
ZADANIE 46. Test diagnostyczny, mający na celu wykrycie skaz w sztabkach metalu, został
zastosowany do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych z dużej partii tego wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią sztabki ze skazami. Ustalono, ze jeśli sztabka ma skazę, to w 90% test wskazuje istnienie skazy (wynik pozytywny) i w 90% test nie wskazuje skazy, jeśli sztabka jest wykonana prawidłowo.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze sztabka ma rzeczywiście skazę, jeśli wynik testu był
pozytywny?
ZADANIE 47. W pewnym mieście o (n + 1) mieszkańcach rodzi się plotka . Pierwsza osoba opowiada ją drugiej, ta trzeciej, itd. Za każdym razem osoba, której będzie opowiadana plotka jest wybierana przez losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po r ¬ n krokach plotka nie wróci do pierwszej osoby?
ZADANIE 48. Dozorca ma n kluczy, z których jeden pasuje do zamka. Klucze są wybierane i próbowane losowo bez powtórzeń. To postępowanie może wymagać 1, 2, . . . n prób. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że postępowanie to będzie wymagać k kroków, gdzie 1 ¬ k ¬ n. Pokazać, że każdy z tych wyników ma to samo prawdopodobieństwo równe 1 .
n
ZADANIE 49. W przedstawionej tablicy podane są wartości częstości ( częstości względne w stosunku do całkowitej liczby obserwacji) występowania wiatrów w poszczególnych kierunkach na stacji meteorologicznej. Niech K oznacza kierunek wiatru w sensie geograficznym, V oznacza klasę prędkości:
K
N
NE
E
SE
S
SW
W
NW
V
0-2
6.1
2.5
3.3
5.7
5.9
2.7
10
6.1
42.3
2-5
9.6
1.2
3.3
6.2
5.8
4.2
12.1
9.4
51.8
5-10
0.2
0
0
0.3
0.6
1
1
0.7
3.8
v > 10
0
0
0
0.4
0.3
0.6
0.4
0.4
2.1
15.9
3.7
6.6
12.6
12.6
8.5
23.5
16.6
100
Niech K( W, N W, SW ) oznacza zdarzenie polegające na wystąpieniu wiatru z jednego z kierunków zachodnich.
1. Wyznacz prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia K( W, N W, SW ) ( polegającego na wystąpieniu wiatru z jednego z wymienionych kierunków zachodnich).
2. Wyznaczy prawdopodobieństwa warunkowe
Pr K( W, N W, SW )V
.
5( v < 2)
ZADANIE 50. W pewnej populacji genotypy DD, Dd, dd (gdzie D jest genem dominu-jącym, a d jego allelem recesywnym) występują z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: p 2 , 2 pq, q 2 (przyjmuje się, że dD i Dd są nierozróżnialne). Rodziców osobnika oznaczamy 6
przez Dd × Dd. Przyjmujemy, że łączenie się rodziców w pary jest losowe i niezależne . Symbolami A 1 , A 2 , ..., A 8 oznaczamy zdarzenia, że rodzice należą odpowiednio do genotypów DD × DD, DD × Dd, DD × dd, Dd × DD, , Dd × Dd, Dd × dd, dd × DD, dd × Dd, dd × dd.
Przez B oznaczamy zdarzenie, że pewien osobnik należy do genotypu DD.
1. Wyznacz prawdopodobieństwa p( A 5 |B)
ZADANIE 51. W czasie lotu rakiety kosmicznej w jej aparaturę wpada r -cząstek elementar-nych z prawdopodobieństwem
λr
Pr(r , λ) =
e−λ,
gdzie
, λ > 0 , r = 0 , 1 , . . . .
r!
Dla każdej z nich prawdopodobieństwo trafienia w czuły na cząstki elementarne blok jest równe p . Ile jest równe prawdopodobieństwo p
trafienia w blok dokładnie k -cząstek(doświadczalnie
stwierdzono, że w takim przypadku następuje uszkodzenie wspomnianego bloku).
ZADANIE 52. W chwili 1 umieszczono cząstkę fizyczną w punkcie 5 osi liczbowej. Co jed-nostkę czasu cząstka przesuwa się o jedność na prawo z prawdopodobieństwem p lub na lewo z prawdopodobieństwem q = 1 − p , z tym, że gdy się znajdzie w punkcie 1, to w następnej chwili nie może przesunąć się na lewo (w punkcie 1 jest ścianka) i z prawdopodobieństwem q pozo-staje w tym samym punkcie. Wyznacz korzystając z macierzy przejścia prawdopodobieństwo P(5)(5 , 4 , 3 , 2 , 1) .
ZADANIE 53. Załóżmy, że częstość genotypów AA, Aa, aa w populacji wynoszą odpow iednio p 2 , 2 pq, q 2 . Ile wynosi prawdopodobieństwo, że brat mężczyzny o genotypie Aa należy również do tego samego genotypu.
7