Kolokwium I
rok 2008/2009
Zadanie 5: a) Wykazać, że krzywizna i skręcanie krzywej L :
2
3
2 y x 6
, z x są sobie równe.
b) Co znaczy, że punkt M ( OM r( t )) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma 0
0
punkt wyprostowania?
Rozwiązanie:
a)
1) Potrzebne wzory do obliczeń:
| r'( t) r"( t) |
a) Krzywizna krzywej ( t)
3
| r'( t) |
| r'( t) r"( t) | r'''( t) b) Skręcenie krzywej ( t)
2
| r'( t) r"( t) |
2) Parametryzacja prostej L
L :
2
3
2 y x 6
, z x
2
x
3
x
y
; z
2
6
x t
2
t
y
gdzie t
]
1
;
0
[
2
3
t
z
6
3) Obliczenie potrzebnych nam danych do wzorów a) Pochodne z r( t) :
2 3
t
t
r( t) t,
,
2 6
2 t 3 2
t
2
t
r'( t)
,
1
,
,
1 t,
pochodna I rzędu z r( t)
2 6
2
r'' t
( ) ,
1
,
0 t pochodna II rzędu z r( t) r'' (
' t)
1
,
0
,
0
pochodna III rzędu z r( t) b) Zależności z wzorów:
i
j
k
2
t
2
t
2
t
r' ( t) r"( t) 1
t
2
t
0
, t 1
, 0
, t
1
,
2
2
2
0
1
t
2
2
4
t
t
2
| r'( t) r"( t) |
t 12
2
t 1
2
4
2
2
4
t
t
2
2
| r'( t) | 1 t
2
t 1
2
4
4) Obliczenie krzywizny krzywej 4
t
2
t 1
| r' ( t) r"( t) |
1
1
4
( t)
3
2
4
| r' ( t) |3
4
4
t
2
t
t
t
2
2
1
t 1
t 1
4
4
4
5) Obliczenie skręcenia krzywej 2
t
, t 1
,
1
,
0
,
0
| r'( t) r"( t) | r'''( t) 2
0 0 1
1
( t)
2
2
4
4
| r'( t) r"( t) |
4
t
t
2
t
t
t
2
1
2
1
t 1
4
4
4
6) Wnioski: 1
1
i
stąd:
4
t
4
t
2
t 1
2
t 1
4
4
krzywizna krzywej jest równa jej skręceniu b)
Punkt M ( OM r( t )) jest punktem wyprostowania krzywej L : r r( t ) , wtedy gdy ( t ) 0
0
0
0
0
L :
2
3
2 y x 6
, z x
Aby prosta
miała punkt wyprostowania:
0, więc:
1
0
4
t
2
t 1
4
4
t
2
t 1 0
4
4
t
2
t 1 zawsze będzie 0 więc krzywa L :
2
3
2 y x 6
, z x nie posiada punktu wyprostowania.
4
Odpowiedź:
a) Krzywizna i skręcenie są sobie równe.
b) Krzywa nie posiada punktu wyprostowania.
Autor: Anna B. grupa 2
5.11.2013