Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [10p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dane jest pole wektorowe: ~

F = [2y − 6xy3, 2x − 9x2y2, 6].

a) Obliczyć div ~

F .

b) Wykazać, że ~

F jest polem potencjalnym oraz wyznaczyć jego potencja l.

c) Obliczyć ca lk¸e

R

(2y − 6xy3)dx + (2x − 9x2y2)dy + 6dz,

⌢

AB

⌢

gdzie AB jest lukiem krzywej {y = 1 x2, z = 6} l¸acz¸acym punkty A(0, 0, 6) i B(2, 2, 6).

2

Zad.Z2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć mas¸e luku krzywej L : {x(t) = et cos t, y(t) = et sin t, z(t) = et, t ∈ [0, 1]}, której g¸estość wyraża si¸e wzorem ρ(x, y, z) = z.

Zad.Z3. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu

~r(t) = [t − sin t, 1 − cos t, 4 sin t ]

2

w punkcie odpowiadaj¸acym t0 = π . Jaki k¸at tworzy ta styczna z osi¸a OZ? Obliczyć krzywizn¸e ~r(t) w punkcie t 2

0.

Zad.Z4. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Obliczyć f (51)(2) dla funkcji f (x) = 2 .

4 x

−

Zad.Z5. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Niech





C(x3 − x2)

x ∈ (0, 1)

f (x) =



0

x /

∈ (0, 1)

b¸edzie g¸estości¸a rozk ladu zmiennej losowej X. Wyznaczyć sta l¸a C. Znaleźć wzór na dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Obliczyć P (−1 ≤ X ≤ 1 ) oraz EX.

2