Równanie różniczkowe ciągłości dla ruchu płynu ścisliwego – równanie Eulera dla gazu ρ(x,y,z,t) ≠ 0

∂(ρ ⋅ V

ρ ⋅

)

V

x

=

x

∂ ⋅ x

W kierunku osi x wpływa w czasie dt do elementarnego sześcianu masa płynu

∂(ρ ⋅ V )

(ρ ⋅ V

x

+

dx) dydzdt . Dla tego przypadku czas lub przyrost czasu równy jest: x

∂ ⋅ x

∂(ρ ⋅ Vx

−

) dxdydzdt

∂ ⋅ x

∂(ρ ⋅ Vy

−

) dxdydzdt

∂ ⋅ y

∂(ρ ⋅ Vz

−

) dxdydzdt

∂ ⋅ z

Całkowity przyrost masy płynu w danym elemencie wynosi:

∂(ρ ⋅ v ) ∂(ρ ⋅ v ) ∂(ρ ⋅ v ) x

x

x

−[

+

+

d

] xdydzdt

∂ ⋅ x

∂ ⋅ y

∂ ⋅ z

jeżeli dana gęstość ρ(x,y,z,t) tyle wynosiła w czasie t0, a w czasie t+dt gęstość będzie równa ρ(x,y,z,t+dt)= ρ+dp/dt

∂

Masa płynu też ulegnie zmianie od p dx dy dz dt do wartości ( + ρ

ρ

dt) dxdydzdt t

∂

∂ρ

W czasie t+dt przyrost masy będzie wynosił

dxdydzdt

t

∂

∂(ρ ⋅ V ) ∂(ρ ⋅ V ) ∂(ρ ⋅ ) ρ

∂

y

V

Wobec tego:

x

z

−[

+

+

d

] xdydzdt =

dxdydzdt albo

∂ ⋅ x

∂ ⋅ y

∂ ⋅ z

dt

∂ρ ∂(ρ ⋅ V ) ∂(ρ ⋅ V ) ρ

y

x

∂( ⋅ V )

−[

+

+

+

z

] = 0

∂ t

∂ ⋅ y

∂ ⋅ y

∂ ⋅ z